Explicación de la fórmula de reactancia compleja

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¿Puede alguien explicar las matemáticas detrás de las siguientes relaciones entre las igualdades en la reactancia de un capacitor?

$$ X_C = \ frac {1} {2 \ pi f C} = \ frac {-j} {\ omega C} = \ frac {1} {j \ omega C} $$

Por ejemplo, el segundo miembro, $$ \ frac {1} {2 \ pi f C} $$ No tiene un componente complejo, ¿cómo puede ser igual a los otros cuando $$ 2 \ pi f = \ omega $$ Falta el componente complejo, ¿no?

Y los dos últimos, son iguales, pero el componente complejo se revuelve un poco. No entiendo lo que está pasando allí tampoco.

Las expresiones / miembros individuales están bien, pero según mi libro de texto se supone que son iguales, pero no veo cómo. $$$$ EDITAR: Las dos últimas igualaciones son de mi libro de texto, la segunda es de la página web de tutoriales electrónicos. Todo bajo el símbolo X_C. Enlace: enlace

Está bien. Entonces, lo que he derivado de los comentarios, es que diferentes definiciones de $$ X_ {LC} \ \ y \ \ Z_ {LC} $$ se usan en diferentes lugares. Tenía la impresión de que X, de manera obligatoria, siempre tenía la unidad compleja dentro de ella y siempre era una cantidad imaginaria pura. Aunque no es cierto Los ejemplos en mi libro de texto ahora tienen más sentido ahora porque parece que usa Z como la parte imaginaria y X como la imagen mixta. y parte real.

    
pregunta E. l4d3

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Para un condensador, existe la relación:

$$ \ text {I} _ \ text {C} \ left (t \ right) = \ text {C} \ cdot \ frac {\ text {d} \ text {V} _ \ text {C} \ left (t \ right)} {\ text {d} t} \ tag1 $$

Considerando que la señal de voltaje es:

$$ \ text {V} _ \ text {C} \ left (t \ right) = \ text {V} _ \ text {p} \ sin \ left (\ omega t \ right) \ tag2 $$

Se deduce que:

$$ \ frac {\ text {d} \ text {V} _ \ text {C} \ left (t \ right)} {\ text {d} t} = \ omega \ text {V} _ \ texto {p} \ cos \ left (\ omega t \ right) \ tag3 $$

Y así:

$$ \ frac {\ text {V} _ \ text {C} \ left (t \ right)} {\ text {I} _ \ text {C} \ left (t \ right)} = \ frac {\ text {V} _ \ text {p} \ sin \ left (\ omega t \ right)} {\ omega \ text {C} \ text {V} _ \ text {p} \ cos \ left (\ omega t \ right)} = \ frac {\ sin \ left (\ omega t \ right)} {\ omega \ text {C} \ sin \ left (\ omega t + \ frac {\ pi} {2} \ right)} \ tag4 $$

Esto dice que la relación entre la amplitud de la tensión de CA y la amplitud de la corriente de CA a través de un capacitor es \ $ \ frac {1} {\ omega \ text {C}} \ $, y que la tensión de CA se retrasa a través de condensador en \ $ 90 \ $ grados (o la corriente alterna conduce el voltaje de CA a través de un capacitor en \ $ 90 \ $ grados).

Este resultado se expresa comúnmente en forma polar como:

$$ \ text {Z} _ \ text {c} = \ frac {1} {\ omega \ text {C}} \ cdot e ^ {- \ frac {\ pi} {2} \ cdot \ text {j}} \ tag5 $$

O, aplicando la fórmula de Euler, como:

$$ \ text {Z} _ \ text {C} = - \ text {j} \ cdot \ frac {1} {\ omega \ text {C}} = \ frac {1} {\ text {j } \ omega \ text {C}} \ tag6 $$

Ahora para \ $ \ text {X} _ \ text {C} \ $:

$$ \ text {X} _ \ text {C} = \ left | - \ text {j} \ cdot \ frac {1} {\ omega \ text {C}} \ right | = \ frac {1 } {\ omega \ text {C}} \ tag7 $$

Donde \ $ \ omega = 2 \ pi \ text {f} \ $

    
respondido por el Jan

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