ecuaciones del circuito RC

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Se me ha presentado el siguiente circuito y se me ha pedido que busque una expresión para Vc en términos de tiempo

Mi trabajo es este:

$$ V_S = V_R + V_C \\ I_R = I_C \\ $$

$$ \ frac {V_R} R = C \ frac {dV_C} {dt} \\ \ frac {V_S - V_C} R = C \ frac {dV_C} {dt} \\ dt = \ frac {RC} {V_S - V_C} dV_C \\ $$ integrando $$ t = -RC \ ln (V_S - V_C) \\ \ frac {-t} {RC} = \ ln (V_S - V_C) \\ $$ tomando exponenciales $$ \ exp (\ frac {-t} {RC}) = V_S - V_C \\ V_C = V_S - \ exp (\ frac {-t} {RC}) $$

Pero sé que la respuesta debería ser $$ V_C = V_S - V_S \ exp (\ frac {-t} {RC}) $$

¿Alguien puede ver dónde han ido mis Vs perdidas?

    
pregunta ACarter

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Condiciones iniciales y constante de integración.

$$ \ begin {align *} I_R & = \ frac {V_R} {R} = \ frac {V_S-V_C} {R} \\ I_C & = C \ cdot \ frac {\ textrm {d} V_C} {\ textrm {d} t} \\ \ textrm {cuando} I_R \ textrm {es positivo, d} & V_C \ textrm {también es positivo} \\\\ & \ por lo tanto I_R = I_C \\\\\\\\\ \ frac {V_S-V_C} {R} & = C \ cdot \ frac {\ textrm {d} V_C} {\ textrm {d} t} \\\\ \ textrm {d} t & = \ frac {R \: C} {V_S-V_C} \: \: \ textrm {d} V_C \\\\ \ int \ textrm {d} t & = - R \: C \ int \ frac {\ textrm {d} V_C} {V_C-V_S} \\\\ \ textrm {configuración} u = V_C-V_S, \ quad & \ por lo tanto \ textrm {d} u = \ textrm {d} V_C \\\\ \ int \ textrm {d} t & = - R \: C \ int \ frac {\ textrm {d} u} {u} \\\\ t + C_0 & = - R \: C \: \ operatorname {ln} \ left (u \ right) \\\\ - \ frac {t} {R \: C \:} - \ frac {C_0} {R \: C \:} & = \ operatorname {ln} \ left (V_C-V_S \ right) \\\\ e ^ {\ frac {-t} {R \: C \:}} \ cdot e ^ {\ frac {-C_0} {R \: C \:}} & = V_C-V_S \\\\ A_0 \ cdot e ^ {\ frac {-t} {R \: C \:}} & = V_C-V_S \\\\ \ textrm {de las condiciones iniciales en} t = 0 \ textrm {y} V_C & = 0, \ textrm {que conocemos} A_0 = -V_S \\\\ \ por lo tanto -V_S \ cdot e ^ {- \ frac {t} {R \: C \:}} & = V_C-V_S \\\\ V_S-V_S \ cdot e ^ {\ frac {-t} {R \: C \:}} & = V_C \\\\ V_C & = V_S \ cdot \ left (1- e ^ {\ frac {-t} {R \: C \:}} \ right) \ end {align *} $$

    
respondido por el jonk

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