Estoy luchando con el cálculo de la función de transferencia H (s) de un filtro de paso alto, el cálculo de la función de transferencia de un filtro de primer orden no es un problema, pero aún no he dominado los filtros de segundo orden.
¿Supongo que debería usar KCL para hacerlo lo más eficiente posible?
Saludos cordiales
Deje V el voltaje en la unión de \ $ R \ $, \ $ C \ $ y \ $ L_1 \ $. Utilice KCL en este cruce y la salida. Esto dará las siguientes dos ecuaciones.
\ $ \ frac {u_1-V} {R} = C s \ left (V-u_2 \ right) + \ frac {V} {L_1 s} \ $
\ $ C s \ left (V-u_2 \ right) = \ frac {u_2} {L_2 s} \ $
Estas dos ecuaciones tienen 2 incógnitas \ $ V \ $ y \ $ u_2 \ $. En este caso solo le interesa \ $ u_2 \ $. Puede resolver \ $ V \ $ en términos de \ $ u_2 \ $ a partir de la segunda ecuación y sustituirlo en la primera, para obtener la solución para \ $ u_2 \ $.
Siempre uso un sistema de álgebra para lidiar con estos cálculos engorrosos y propensos a errores. Ellos devolverán la respuesta en un abrir y cerrar de ojos.
Aplicaré las técnicas de circuitos analíticos rápidos o FACT descritos aquí para determinar esta función de transferencia. El principio es encontrar las constantes de tiempo del circuito cuando la excitación (\ $ V_ {in} \ $) se reduce a 0 V (reemplazado por un cortocircuito). El esquema está abajo:
LahistoriadetrásdelosFACTsesconfiguraralternativamenteloselementosdealmacenamientodeenergíaensuestadodeCCodealtafrecuencia:respectivamenteabiertoycortocircuitadoparaunatapa,respectivamentecortocircuitoycircuitoabiertoparauninductor.Primerocomenzamospordeterminarlaresistenciacuandotodosloselementosseobservanendc:desconectaelelementodealmacenamientodeenergíaseleccionadoyencuentralaresistenciaqueofrecensusterminalesdeconexiónmientrasquelosotroselementospermanecenensuestadodedc.Cuandolaresistenciaesinfinita,adoptamosunvalorfinito\$R_{inf}\$ycuandoes0,tambiénadoptamosunvalorfinitoiguala\$R_{pequeño}\$.Lohacemosparaevitarindeterminaciones.Unavezhechoesto,continuamosestableciendounodelostreselementosensuestadodealtafrecuenciamientrasdeterminamoslaresistenciadeotroelementodealmacenamientodeenergía.\$\tau_{12}\$porejemplosignificaqueestablecemos\$L_1\$ensuestadodealtafrecuenciaydeterminamoslaresistenciaofrecidaporlosterminalesde\$L_2\$mientrasque\$C_3\$permaneceensuEstadodc(circuitoabierto).Finalmente,establecemosdoselementosensuestadodealtafrecuenciaydeterminamoslaresistenciaofrecidaporeltercero.Luego,puedesensamblareldenominadorcomo:
\$D(s)=1+s(\tau_1+\tau_2+\tau_3)+s^2(\tau_1\tau_{12}+\tau_1\tau_{13}+\tau_2\tau_{23})+s^3\tau_2\tau_{23}\tau_{321}\$
Ladeterminacióndelnumeradorsepuederealizarmedianteunainyeccióndoblenula(NDI)omedianteelcálculodegananciassimples.Enesteenfoque,loselementosdealmacenamientodeenergíaahoraseestablecenalternativamenteensuestadodealtafrecuenciaypuedereutilizarlasconstantesdetiempoyadeterminadaseneldenominadorparaformar\$N(s)\$.TerminascontérminosunpocomáscomplicadosqueconunNDI,peroamenudosepercibecomounejerciciomuchomássimple.Además,comoenestecaso,muchasdeestasgananciasson0,loquerealmentesimplificaelenfoque.Loscircuitossemuestranacontinuación:
Porejemplo,lanotación\$H^1\$significaque\$L_1\$estáensuestadodealtafrecuencia(circuitoabierto)mientrasquelosotrosdoselementosestánensuestadodeCC.¿Cuáleslagananciaenestemodo?0comolagorra.estáencircuitoabierto.\$H^{12}\$significaqueloselementos1y2estánensuestadodealtafrecuencia,mientrasqueelelemento3estáensuestadodc:¿cuáleslaganancia?0.Sirealizaelejerciciocorrectamente,puedeensamblarelnumeradordelasiguientemanera:
\$N(s)=H_0+s(\tau_1H^1+\tau_2H^2+\tau_3H^3)+s^2(\tau_1\tau_{12}H^{12}+\tau_1\tau_{13}H^{13}+\tau_2\tau_{23}H^{23})+s^3\tau_2\tau_{23}\tau_{321}H^{321}=s^3b_3H^{321}\$
Aquí,lagananciadc\$H_0\$esiguala0(dosinductoresestánencortocircuito,latapaestáabierta).LafuncióndetransferenciafinalseobtienecombinandolosnúmerosanterioresyreorganizandoelresultadobajounaformapolinómicaagradablecomosemuestraenlahojadeMathcadacontinuación.PuedeverquehedeterminadolafuncióndetransferenciadereferenciautilizandoThévenincomosesugiereenmicomentario.Sidesarrollaestaexpresiónamano,puedecometererroresyencontrardifícilfactorizarlacorrectamente.Conlastécnicasquemostré,sidetectasunerror,vuelvealospequeñosbocetosintermediosyreparaelculpableenunainstantánea.Comopuedever,noescribíunasolalíneadeálgebraparadeterminarestafuncióndetransferencia,queesgenial.EsteeselpoderdelosHECHOSqueanimoalosestudiantesaaprenderyadquirir.
Creo que el método más simple es usar, como primer paso, las impedancias generales Z y aplicar las reglas conocidas de la división de voltaje.
Por lo tanto: Cambiemos el nombre a R > > Z3, C > > Z4, L1 > > Z1 y L2 > > Z2.
Ahora: use la regla del divisor de voltaje para encontrar la función de transferencia en el nodo entre Z3 y Z4.
Obviamente, encontramos: V34 / V1 = [Z1 || (Z2 + Z4)] / [Z3 + Z1 || (Z2 + Z4)].
Para obtener V2 / V1, esta expresión se debe multiplicar por (división de voltaje Z2-Z4): Z4 / (Z2 + Z4).
Como último paso, introduce las expresiones apropiadas para Z1 ... Z4. Eso es todo.
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