Confundido en cómo encontrar la función de transferencia de un filtro de paso bajo

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

En el circuito que se muestra, hay dos elementos, A y B, que tienen impedancia. El elemento puede ser una resistencia o un condensador o incluso un inductor.

Permite llamar a la impedancia del elemento A, \ $ Z_A \ $, y del elemento B, \ $ Z_B \ $.

Ahora, si ambos elementos son resistencias en lugar de hablar de impedancia, generalmente decimos resistencia. Sabemos que podemos usar la práctica fórmula de divisor de voltaje para encontrar el voltaje de salida V2.

$$ V2 = \ frac {Z_B} {Z_A + Z_B} \ cdot V1 $$

También podemos usar KVL para relacionar la fuente de voltaje con la corriente en el circuito.

$$ V1 = i \ cdot (Z_A + Z_B) $$

Esto sigue siendo cierto incluso si no son ambas resistencias. La corriente que fluye a través de cada elemento creará una caída de voltaje a través de él debido a la impedancia que ve. Por lo tanto, debemos usar el modelo de impedancia apropiado para que el elemento obtenga la respuesta correcta.

Para un inductor - \ $ Z = j \ omega L \ $. Podemos sustituir ese valor en las ecuaciones anteriores para obtener el resultado esperado. $$ V1 = i \ cdot (R + j \ omega L) \\ \\ V2 = \ frac {R} {R + j \ omega L} \ cdot V1 $$

Si no hay carga en el filtro, entonces Vi es igual al voltaje en R y L. El voltaje en R que se define como Vo, como ya determinó, es igual a la corriente a través de R (i1) multiplicada por R que da como resultado Vo = Ri1. De manera similar, la tensión en L es igual a jwL veces la misma corriente ya que R y L están en serie. Así es jwLi1. Entonces Vi es la suma de estos 2 voltajes, por lo que: V1 - jwLi1 + Ri1 = (jwL + R) i1. La función de transferencia es Vo / Vi que viene dada por:     Vo / Vi = Ri1 / (jwL + R) i1 que se reduce a R / (jwL + R). Como se señaló en un comentario, también puede obtener este resultado considerando el circuito como un divisor de voltaje.

El proceso matemático para encontrar los valores:

La ley de ohmios a través del inductor y la resistencia da:

\ $ V_ {ac} = L * (di / dt) \ $

\ $ V_o = i * R \ $

utilizar KCL:

\ $ V_o = V_i-V_ac \ $

entonces la sustitución da:

\ $ V_i = i * R + L * (di / dt) \ $

tomar la transformada laplace de ambos lados da:

\ $ V_i (s) = i * R + i * L * s \ $

simplificar:

\ $ V_i (s) = i (R + L * s) \ $

donde s = jw para frecuencia w