¿Cuál es la IL (t) del circuito RL de la IL (t = 0) = I ini

Desearía que hayas expuesto más detalles de cómo recorriste tu proceso. Pero al menos muestras algo de trabajo. En lugar de señalar un error, prefiero simplemente pasar por el proceso como lo veo, en su lugar.

Esquema:

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

El análisis nodal proporciona:

$$ \ begin {align *} \ frac {V_X} {R_1} + \ frac {1} {L_1} \ int V_X \: \ text {d} t & = \ frac {V_S} {R_1} \ end {align *} $$

Tomando el derivado, obtengo:

$$ \ begin {align *} \ frac {\ text {d} V_X} {R_1 \: \ text {d} t} + \ frac {V_X} {L_1} & = 0 \\\\ \ frac {\ text {d} V_X} {\ text {d} t} & = - \ frac {R_1 \: V_X} {L_1} \\\\ \ frac {\ text {d} V_X} {V_X} & = - \ frac {R_1} {L_1} \: \ text {d} t \\\\ \ int \ frac {\ text {d} V_X} {V_X} & = \ int- \ frac {R_1} {L_1} \: \ text {d} t \\\\ \ operatorname {ln} \ left (V_X \ right) & = - \ frac {R_1} {L_1} \: t + C_0 \\\\ V_X & = A_0 \: e ^ {- \ frac {R_1} {L_1} \: t} \ end {align *} $$

Las condiciones iniciales son que \ $ V_ {X_ {t = 0}} = A_0 = V_S-I_0 \ cdot R_1 \ $. Así, lo anterior se convierte en:

$$ \ begin {align *} V_X & = \ left (V_S-I_0 \ cdot R_1 \ right) \: e ^ {- \ frac {R_1} {L_1} \: t} \ end {align *} $$

Sabe que la corriente siempre debe ser \ $ I_X = \ frac {V_S-V_X} {R_1} \ $, por lo tanto:

$$ \ begin {align *} I_X & = \ frac {V_S- \ left (V_S-I_0 \ cdot R_1 \ right) \: e ^ {- \ frac {R_1} {L_1} \: t}} {R_1} \\\\ & = \ frac {V_S} {R_1} \ cdot \ left (1-e ^ {- \ frac {R_1} {L_1} \: t} \ right) + I_0 \ cdot e ^ {- \ frac {R_1} {L_1} \: t} \ end {align *} $$

Es útil establecer \ $ \ tau = \ frac {L_1} {R_1} \ $. Entonces:

$$ \ begin {align *} I_X & = \ frac {V_S} {R_1} \ cdot \ left (1-e ^ {- \ frac {t} {\ tau}} \ right) + I_0 \ cdot e ^ {- \ frac {t} {\ tau}} \ end {align *} $$

Si figura \ $ \ tau = 1 \: \ mu \ text {s} \ $, \ $ I_0 = 3 \: \ text {mA} \ $, \ $ V_S = 10 \: \ text {V } \ $, \ $ R_1 = 1 \: \ text {k} \ Omega \ $, y conecte \ $ t = 0 \ $ encontrará \ $ I_ {X_ {t = 0}} = 3 \: \ text {mA} \ $ (También, \ $ I_ {X_ {t = 1 \: \ mu \ text {s}}} \ approx 7.4 \: \ text {mA} \ $ y \ $ I_ {X_ {t = 2 \: \ mu \ text {s}}} \ approx 9.1 \: \ text {mA} \ $, etc.)

Bueno, según ' Ley de Faraday ' en una serie de circuitos RL:

$$ 0 + \ text {V} _ {\ space \ text {R}} \ left (t \ right) - \ text {V} _ {\ space \ text {in}} \ left (t \ right ) = - \ text {V} _ {\ space \ text {L}} \ left (t \ right) \ tag1 $$

Ahora, sabemos algunas cosas:

• $$ \ text {V} _ {\ space \ text {R}} \ left (t \ right) = \ text {I} _ {\ space \ text {R}} \ left (t \ right) \ cdot \ text {R} = \ text {I} _ {\ space \ text {in}} \ left (t \ right) \ cdot \ text {R} \ tag2 $$
• $$ \ text {V} _ {\ space \ text {L}} \ left (t \ right) = \ text {I} _ {\ space \ text {L}} '\ left (t \ right ) \ cdot \ text {L} = \ text {I} _ {\ space \ text {in}} '\ left (t \ right) \ cdot \ text {L} \ tag3 $$

Entonces, obtenemos:

$$ 0 + \ text {V} _ {\ space \ text {R}} \ left (t \ right) - \ text {V} _ {\ space \ text {in}} \ left (t \ right ) = - \ text {V} _ {\ space \ text {L}} \ left (t \ right) \ space \ Longleftrightarrow \ space $$ $$ 0 + \ text {I} _ {\ space \ text {in}} \ left (t \ right) \ cdot \ text {R} - \ text {V} _ {\ space \ text {in}} \ left (t \ right) = - \ text {I} _ {\ space \ text {in}} '\ left (t \ right) \ cdot \ text {L} \ space \ Longleftrightarrow \ space $$ $$ \ text {V} _ {\ space \ text {in}} \ left (t \ right) = \ text {I} _ {\ space \ text {in}} \ left (t \ right) \ cdot \ text {R} + \ text {I} _ {\ space \ text {in}} '\ left (t \ right) \ cdot \ text {L} \ space \ Longleftrightarrow \ space $$ $$ \ text {V} _ {\ space \ text {in}} \ left (t \ right) = \ text {I} _ {\ space \ text {in}} '\ left (t \ right) \ cdot \ text {L} + \ text {I} _ {\ space \ text {in}} \ left (t \ right) \ cdot \ text {R} \ tag4 $$

Usando la condición inicial, y usando transformada de Laplace :

$$ \ text {v} _ {\ space \ text {in}} \ left (\ text {s} \ right) = \ text {L} \ cdot \ left (\ text {s} \ cdot \ text {i} _ {\ space \ text {in}} \ left (\ text {s} \ right) -3 \ cdot10 ^ {- 3} \ right) + \ text {i} _ {\ space \ text { in}} \ left (\ text {s} \ right) \ cdot \ text {R} \ space \ Longleftrightarrow \ space $$ $$ \ text {i} _ {\ space \ text {in}} \ left (\ text {s} \ right) = \ frac {\ text {v} _ {\ space \ text {in}} \ left ( \ text {s} \ right) + \ text {L} \ cdot3 \ cdot10 ^ {- 3}} {\ text {L} \ cdot \ text {s} + \ text {R}} = \ frac {\ text {v} _ {\ space \ text {in}} \ left (\ text {s} \ right)} {\ text {L} \ cdot \ text {s} + \ text {R}} + \ frac {\ text {L} \ cdot3 \ cdot10 ^ {- 3}} {\ text {L} \ cdot \ text {s} + \ text {R}} \ tag5 $$

Entonces, para la transformada inversa de Laplace puede escribir:

$$ \ text {I} _ {\ space \ text {in}} \ left (t \ right) = \ text {L} \ cdot3 \ cdot10 ^ {- 3} \ cdot \ mathscr {L} _ \ text {s} ^ {- 1} \ left [\ frac {1} {\ text {L} \ cdot \ text {s} + \ text {R}} \ right] _ {\ left (t \ right) } + \ int_0 ^ t \ mathscr {L} _ \ text {s} ^ {- 1} \ left [\ frac {1} {\ text {L} \ cdot \ text {s} + \ text {R}} \ right] _ {\ left (t- \ tau \ right)} \ cdot \ text {V} _ {\ space \ text {in}} \ left (\ tau \ right) \ space \ text {d} \ tau \ tag6 $$

Donde utilicé el teorema de convolución .