Función de transferencia de tanque RLC paralelo

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He visto la expresión para la función de transferencia de un tanque RLC que se indica a continuación.

$$ H (j \ omega) = \ frac {H_o} {1 + j2Q \ frac {\ omega- \ omega_o} {\ omega_o}} $$

Soy capaz de obtener este resultado, pero aún tengo algunas confusiones menores y no estoy seguro si mi análisis es correcto. Creo que puede inyectar una corriente (modelo Norton) en la rama paralela de RLC. Donde $$ H (j \ omega) = \ frac {V_ {o}} {I_ {in}} $$

A continuación, encontrar la admisión.

$$ Y (j \ omega) = \ frac {1} {R} + \ frac {1} {jwL} + jwC $$ $$ Y (j \ omega) = \ frac {1} {R} + jwC + \ frac {-j} {wL} $$ $$ Y (j \ omega) = \ frac {1} {R} + j (wC- \ frac {1} {wL}) $$ $$ Y (j \ omega) = \ frac {1} {R} + \ frac {j} {wL} (w ^ 2CL-1) $$ $$ \ omega_o ^ 2 = \ frac {1} {LC} $$ $$ Y (j \ omega) = \ frac {1} {R} + \ frac {j} {wL} (\ frac {w ^ 2} {w_o ^ 2} -1) $$ $$ Y (j \ omega) = \ frac {1} {R} + \ frac {j} {wL} (\ frac {w ^ 2-w_o ^ 2} {w_o ^ 2}) $$

Ahora obteniendo la impedancia.

$$ Z (j \ omega) = \ frac {1} {\ frac {1} {R} + \ frac {j} {wL} (\ frac {w ^ 2-w_o ^ 2} {w_o ^ 2})} $$ $$ Z (j \ omega) = \ frac {R} {1+ \ frac {jR} {wL} (\ frac {w ^ 2-w_o ^ 2} {w_o ^ 2})} $$

Dado que

$$ Q = \ frac {R} {wL} $$

$$ Z (j \ omega) = \ frac {R} {1 + jQ (\ frac {w ^ 2-w_o ^ 2} {w_o ^ 2})} $$

Creo que $$ \ frac {w ^ 2-w_o ^ 2} {w_o ^ 2} \ approx 2 \ frac {w-w_o} {w_o} $$

Por lo tanto,

$$ H (j \ omega) = \ frac {V_o} {I_ {in}} = Z (j \ omega) = \ frac {R} {1 + j2Q (\ frac {w-w_o} {w_o })} $$

Donde $$ Ho = R $$

¿Esto es correcto? Y si es así tengo una pregunta sobre el cambio de fase. He visto este resultado dado para el cambio de fase.

$$ \ alpha = \ frac {\ pi} {2} - tan ^ {- 1} \ frac {Lw \ times w_o ^ 2} {R \ times (w ^ 2-w_o ^ 2)} $$

Puedo ver cómo podría ser este el resultado, pero ¿de dónde viene el pi / 2?

    
pregunta user367640

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Creo que el cálculo de la primera fórmula es algo así como:

Utilizando \ $ \ omega_0 ^ 2 = (LC) ^ {- 1} \ $:

$$ \ begin {align} Z (j \ omega) & = \ frac {1} {\ frac {1} {R} + \ frac {1} {j \ omega L} + j \ omega C} \\ & = \ frac {j \ omega RL} {j \ omega L + R + j \ omega RLC} \\ & = \ frac {j \ left (\ frac {\ omega} {\ omega_0} \ right) \ omega_0RL} {j \ left (\ frac {\ omega} {\ omega_0} \ right) \ omega_0L + R \ left ( 1- \ left (\ frac {\ omega} {\ omega_0} \ right) ^ 2 \ right)} \\ & = \ frac {j \ omega_0RL} {j \ omega_0L + R \ left (\ frac {\ omega_0} {\ omega} - \ frac {\ omega} {\ omega_0} \ right)} \ end {align} $$

Podemos linealizar \ $ f (\ omega) = \ frac {\ omega_0} {\ omega} - \ frac {\ omega} {\ omega_0} \ $ around \ $ \ omega_0 \ $ usando una expansión de Taylor:

$$ f (\ omega) \ approx f (\ omega_0) + \ left. \ frac {df} {d \ omega} \ right | _ {\ omega = \ omega_0} (\ omega - \ omega_0) + ... $$

Puedes encontrar eso

$$ f (\ omega) \ approx - \ frac {2} {\ omega_0} (\ omega - \ omega_0) $$

Permitiéndonos continuar con \ $ Z (j \ omega) \ $:

$$ \ begin {align} Z (j \ omega) & = \ frac {j \ omega_0RL} {j \ omega_0L + R \ left (\ frac {\ omega_0} {\ omega} - \ frac {\ omega} {\ omega_0} \ right)} \\ & \ approx \ frac {j \ omega_0RL} {j \ omega_0L - \ frac {2R} {\ omega_0} (\ omega - \ omega_0)} \\ & = \ frac {R} {1 + j2 \ frac {R} {\ omega_0L} \ frac {\ omega - \ omega_0} {\ omega_0}} \ end {align} $$

Ahora solo usamos la definición del factor Q para los circuitos RLC paralelos :

$$ Q = R \ sqrt {\ frac {L} {C}} = \ frac {R} {\ omega_0L} $$

Tenga en cuenta que esto no es lo mismo que el factor Q de un inductor o condensador individual, que generalmente se define como \ $ Q_C = \ frac {1} {\ omega_0CR_S} \ $ o \ $ Q_L = \ frac { \ omega_0L} {R_S} \ $ donde \ $ R_S \ $ es la resistencia de la serie.

Si conectas esto en la ecuación anterior, obtendrás la ecuación que encontraste.

La fase de \ $ Z (j \ omega) \ $ se encuentra utilizando:

$$ \ begin {align} \ angle Z (j \ omega) & = \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ mathcal {I} \ {Z (j \ omega) \}} {\ mathcal {R} \ {Z ( j \ omega) \}} \ right) \\ & = \ frac {\ pi} {2} - \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ mathcal {R} \ {Z (j \ omega) \}} {\ mathcal {I} \ { Z (j \ omega) \}} \ right) \ end {align} $$

El segundo es solo usar la identidad trigonométrica:

$$ \ tan \ left (\ frac {\ pi} {2} - \ alpha \ right) = \ cot (\ alpha) = \ frac {1} {\ tan (\ alpha)} $$

Probablemente usaron esta versión para sus cálculos.

    
respondido por el Sven B

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