¿Cuáles son las fórmulas matemáticas para el ancho de banda de ruido para un sistema de paso bajo de primer orden (y, si es posible, un análisis de sistemas LP de segundo orden)? ¿Cuál es la importancia de este concepto, cómo y cuándo se aplica? Un buen gráfico que muestre el ruido BW y el BW y las derivaciones matemáticas sería excelente (para sistemas de 1er y 2º orden). Las extensiones a los filtros de paso de banda también serían útiles.
El ancho de banda de ruido \ $ B_N \ $ de un sistema (invariante en el tiempo lineal) se define como el ancho de banda que un filtro ideal con una respuesta de frecuencia rectangular tendría que tener que obtener la misma potencia de ruido en la salida, dado que El ruido de entrada a ambos sistemas es idéntico y blanco. Se suele suponer que el filtro ideal tiene la misma ganancia máxima que el sistema considerado. De esta definición, se deduce que el ancho de banda de ruido viene dado por
$$ B_N = \ frac {1} {H_ {max} ^ 2} \ int_ {0} ^ {\ infty} | H (f) | ^ 2 \; df \ tag {1} $$
donde \ $ H (f) \ $ es la respuesta de frecuencia del sistema y
$$ H_ {max} ^ 2 = \ max_ {f} | H (f) | ^ 2 $$
La definición (1) es válida independientemente de las características específicas de \ $ H (f) \ $. Por lo tanto, es válido para sistemas de paso bajo, así como para sistemas de paso de banda u otros tipos de filtros.
Para un sistema simple de paso bajo de primer orden (por ejemplo, un \ $ RC \ $ lowpass), tenemos
$$ H (f) = \ frac {1} {1 + jf / f_c} $$ con \ $ f_c \ $ la frecuencia de corte de -3dB. Desde (1) obtenemos el ancho de banda de ruido
$$ B_N = \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {1} {1+ (f / f_c) ^ 2} df = f_c \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {1} {1 + x ^ 2} dx = f_c \ arctan (x) | _ {0} ^ {\ infty} = f_c \ frac {\ pi} {2} $$
En este caso, vemos que el ancho de banda de ruido es mayor que la frecuencia de -3dB en un factor de \ $ \ pi / 2 \ $.
Para un sistema de segundo orden, todo es similar, pero un poco más complejo. La integral se involucra un poco más y el valor de \ $ H ^ 2_ {max} \ $ debe determinarse, ya que puede haber un exceso en la respuesta de frecuencia, dependiendo de la amortiguación. Si tengo más tiempo más adelante, podría agregar detalles sobre los sistemas de segundo orden. Por el momento, espero que la respuesta sea lo suficientemente clara para que todos puedan obtener el ancho de banda de ruido de cualquier sistema en el que estén interesados.