Una señal aleatoria media cero se distribuye uniformemente entre los límites –a y ay su valor cuadrático medio es igual a su varianza

Esto parece una tarea, así que aquí hay algunos consejos: -

Primero, necesitas encontrar la función de densidad de probabilidad P (x) para la señal, dado que: -

\ $ \ int \ limits _ {- a} ^ {+ a} P (x) \, \ mathrm dx = 1 \ $

La variación está dada por: -

\ $ \ int \ limits _ {- a} ^ {+ a} x ^ 2P (x) \, \ mathrm dx \ $

ya que la media es cero.
La rms es la raíz cuadrada de esto por definición (como dice Olin), por lo que tiene su respuesta en términos de a.

Q : Una señal aleatoria media cero se distribuye uniformemente entre los límites –a y ay su valor cuadrado medio es igual a su varianza. ¿Cuál es el valor r.m.s de la señal?

A : $$ V_ {RMS} = \ frac {a} {\ sqrt3} $$

Prueba: El valor RMS de una señal es igual a la raíz cuadrada de la varianza, solo cuando la media de la señal es cero. En este caso especial, RMS < = > Desviación estándar. Suponiendo esta señal como una variable aleatoria continua con distribución uniforme entre -a y a.

$$ \ sigma ^ 2 = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty (x- \ mu) ^ 2f (x) dx $$

Haciendo la media µ = 0 y la función de densidad de probabilidad f (x) = 1 / 2a:

$$ \ sigma ^ 2 = \ int _ {- a} ^ ax ^ 2 \ frac {1} {2a} dx $$

$$ \ sigma ^ 2 = \ frac {a ^ 2} {3} $$ $$ \ sigma = V_ {RMS} = \ frac {a} {\ sqrt3} $$

Cabe destacar que es el mismo valor RMS obtenido para las formas de onda triangular y de diente de sierra, ambas definidas entre los voltajes -a y a.

O en términos pico a pico:

$$ V_ {RMS} = \ frac {2a} {\ sqrt {12}} $$

Este resultado es útil cuando se deriva la expresión famosa para la relación máxima de señal a ruido de ADC (para los tipos que no son Sigma-Delta):

$$ SNR (dB) = 6.02n + 1.76 $$ donde 2a = 1 LSB y n es el número de bits ADC.