Dos sugerencias ....
Coloque un capacitor de valor pequeño de una de las bases de transistores a GND. Esto desequilibrará el circuito para que comience a oscilar al inicio.
Las simulaciones a menudo son demasiado perfectas en su comportamiento y los dos lados del vibrador saldrán equilibrados. En un mundo real, esto sería mucho menos probable debido a que los dos transistores, dos condensadores y las resistencias tendrían una variación natural de las características que causan el desequilibrio del circuito en el arranque.
En segundo lugar, considere mover sus LED para que estén en los circuitos del colector en lugar de los circuitos emisores.
Editar:
También sugeriría cambiar R3 y R4 a 10K para comenzar. Descubrí que con el condensador de 2.2 nF en una BASE y con los cambios anteriores, la simulación indicaba que debía alternar. Tenga en cuenta que también hice el interruptor de suministro de 9V con un tiempo de subida.