Explicación del resultado de un ejercicio resuelto con respecto a la respuesta en pasos unitarios de un sistema

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Encontré un ejercicio resuelto con respecto a Señales y sistemas en el que hay un sistema con respuesta de impulso \ $ h (n) = u (n) \ $ e ingreso \ $ x (n) = u (n) \ $ . El objetivo era encontrar la salida de ese sistema (respuesta de pasos de unidad).

(Tenga en cuenta que \ $ u (n) \ $ es el paso de la unidad)

Entonces, la solución comienza diciendo que la salida es la convolución entre la entrada y la respuesta de impulso que es:

$$ y (n) = x (n) \ ast h (n) = \ sum_ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x (m) \ cdot h (nm) = \ sum_ {m = 0} ^ {n} 1 = n + 1 $$

Después de eso, la solución concluye que la salida es:

$$ y (n) = (n + 1) \ cdot u (n) $$

Todo es realmente elemental y probablemente pierdo algo aquí, pero ¿cómo aparece el término \ $ u (n) \ $ en la salida? ¿No se demostró que la salida es \ $ n + 1 \ $?

Exactamente lo mismo sucede en otro con respecto a un sistema con \ $ x (n) = h (n) = a ^ {n} \ cdot u (n) \ $ donde, aunque \ $ y (n) = a ^ {n} \ cdot (n + 1) \ $ el resultado eventualmente se dice que es \ $ y (n) = a ^ {n} \ cdot (n + 1) \ cdot u (n) \ $.

    
pregunta Adam

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Cuando dicen:

$$ y (n) = x (n) \ ast h (n) = \ sum_ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x (m) \ cdot h (nm) $$

son correctos, pero en el siguiente pasaje simplifican un poco.

Vamos a hacerlo paso a paso:

\ begin {align *} & \ sum_ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x (m) \ cdot h (nm) = \ sum_ {m = - \ infty} ^ {\ infty} u (m) \ cdot u (nm ) = \\ & = \ sum_ {m = 0} ^ {\ infty} 1 \ cdot u (n-m) = \ sum_ {m = 0} ^ {\ infty} u (n-m) \\ \ end {align *}

La función que se va a sumar es \ $ u (n-m) \ $, que es igual a 1 si y solo si \ $ n-m > 0 \ Leftrightarrow m < n \ $.

Dado que la suma se realiza solo para \ $ m > = 0 \ $, si \ $ n > = 0 \ $ el resultado es en realidad \ $ n + 1 \ $, pero si \ $ n < 0 \ $ el resultado es 0, por lo tanto deberían haber escrito:

\ [  \ sum_ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x (m) \ cdot h (n-m) = (n + 1) u (n) \]

a la derecha.

La siguiente imagen puede ayudar:

los puntos rojos son los valores de la función, el área sombreada verde resalta el rango de valores que se sumarán. La imagen fue dibujada con \ $ n = 3 \ $. Puede inferir que si \ $ n < 0 \ $ desaparecerá el área verde, lo que indica que no hay nada que sumar.

    
respondido por el Lorenzo Donati
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u (n) es como la función Heaviside en Laplace, garantiza que y (n) = 0 para n < 0, que debe ser el caso. Si acaba de escribir y (n) = n + 1, entonces y (n) tendría valores negativos para n negativo

    
respondido por el Chu

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