Encontrar la frecuencia de corte

Navega tus respuestas
0

Encuentre la frecuencia de corte de este filtro:

Mi intento:

$$ \ text {H} \ space _ {\ left (\ omega \ right)} = \ frac {\ text {R} _1 + j \ omega \ text {L}} {\ text {R} _1 + \ text {R} _2 + j \ omega \ text {L}} = \ frac {\ text {R} _1 + j \ omega \ text {L}} {\ text {R} _1 + \ text {R} _2 + j \ omega \ text {L}} \ cdot \ frac {\ text {R} _1 + \ text {R} _2-j \ omega \ text {L}} {\ text {R} _1 + \ text {R} _2-j \ omega \ text {L}} = $$ $$ \ frac {\ text {R} _1 ^ 2 + \ text {R} _1 \ text {R} _2 + \ left (\ omega \ text {L} \ right) ^ 2 + j \ omega \ text {L} \ text {R} _2} {\ left (\ text {R} _1 + \ text {R} _2 \ right) ^ 2 + \ left (\ omega \ text {L} \ right) ^ 2} $$

Entonces, cuando busca la frecuencia de corte, puede decir:

$$ \ Re \ left (\ text {H} \ space _ {\ left (\ omega \ right)} \ right) = \ Im \ left (\ text {H} \ space _ {\ left (\ omega \ derecha)} \ derecha) $$

Entonces obtenemos:

$$ \ text {R} _1 ^ 2 + \ text {R} _1 \ text {R} _2 + \ left (\ omega \ text {L} \ right) ^ 2 = \ omega \ text {L} \ texto {R} _2 \ Longleftrightarrow $$ $$ \ left (\ omega \ text {L} \ right) ^ 2- \ omega \ text {L} \ text {R} _2 + \ text {R} _1 ^ 2 + \ text {R} _1 \ text {R } _2 = 0 \ Longleftrightarrow $$ $$ \ omega ^ 2 \ text {L} ^ 2- \ omega \ text {L} \ text {R} _2 + \ text {R} _1 ^ 2 + \ text {R} _1 \ text {R} _2 = 0 \ Longleftrightarrow $$ $$ \ omega = \ frac {\ text {L} \ text {R} _2 \ pm \ sqrt {\ left (- \ text {L} \ text {R} _2 \ right) ^ 2-4 \ cdot \ text {L} ^ 2 \ cdot \ left (\ text {R} _1 ^ 2 + \ text {R} _1 \ text {R} _2 \ right)}} {2 \ cdot \ text {L} ^ 2} \ Longleftrightarrow $$ $$ \ omega = \ frac {\ text {L} \ text {R} _2 \ pm \ sqrt {\ left (\ text {L} \ text {R} _2 \ right) ^ 2-4 \ cdot \ text { L} ^ 2 \ cdot \ left (\ text {R} _1 ^ 2 + \ text {R} _1 \ text {R} _2 \ right)}} {2 \ cdot \ text {L} ^ 2} $$

¿Estoy haciendo algo mal?

    
pregunta Jan

1 respuesta

3

La función de transferencia es (obviamente):

$$ H (s) = \ frac {R_1 + L_1s} {(R_1 + R_2) + L_1s} $$

Elpuntodehaceresoeratrazar

Adoptarladefiniciónde frecuencia de corte como la de un filtro de paso alto, el ojoómetro (o un solver numérico ) nos dará la reducción de -3dB alrededor de \ $ 10 ^ 6 \ $ rad / s.

Para calcular esto simbólicamente solo calcule el cuadrado de la ganancia (desde \ $ G (j \ omega) = | H (j \ omega) | \ $) como

$$ (G (j \ omega)) ^ 2 = H (j \ omega) \ overline {H (j \ omega)} = \ frac {R_1 + L_1j \ omega} {(R_1 + R_2) + L_1j \ omega} \ frac {R_1 - L_1j \ omega} {(R_1 + R_2) - L_1j \ omega} = \\ = \ frac {R_1 ^ 2 + (L \ omega) ^ 2} {(R_1 + R_2) ^ 2 + (L \ omega) ^ 2} $$

(No intente hacer lo anterior en Wolfram Alpha, ya que, a diferencia de Mathematica, no puede decirle que asuma que esos parámetros son reales, por lo que le dará un resultado de un número complejo no simplificado).

Ahora resolver \ $ (G (j \ omega)) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ $ para \ $ \ omega \ $ positivo, para obtener

$$ \ omega = \ frac {\ sqrt {-R_1 ^ 2 + 2 R_1 R_2 + R_2 ^ 2}} {L_1} = \ frac {R_2} {L_1} \ sqrt {2- \ Big (\ frac {R_1} {R_2} -1 \ Big) ^ 2} $$

Esto es ciertamente sensato (real positivo) cuando \ $ R_2 > R_1 \ $ (o más precisamente cuando \ $ R_2 > (\ sqrt {2} - 1) R_1 \ \ approx 0.41 R_1 \ $). Si esto no se cumple (por ejemplo, \ $ R_1 \ $ decir 100K en este ejemplo), entonces la ganancia nunca cae por debajo de -3dB. También tenga en cuenta que para un filtro RL de paso alto simple solo tendría la parte \ $ \ frac {R_2} {L_1} \ $, que puede obtener como caso particular haciendo que $ $ R_1 = 0 \ $.

Si sustituya los valores numéricos de su problema en este, obtendrá básicamente el mismo resultado que a través del gráfico / ojo: \ $ 1.09087 × 10 ^ 6 \ $ rad / s (es decir, 175.3kHz).

    
respondido por el Fizz

Lea otras preguntas en las etiquetas

Pregunta simple que trata sobre las convenciones de signos en las ecuaciones KVL / KCL controlador solar [cerrado]