¿Por qué son relevantes las relaciones, pero no los incrementos al definir la frecuencia central de un filtro de paso de banda?

La física funciona en ambos sentidos (proporciones o incrementos). Lo que realmente está preguntando es por qué las proporciones son más convenientes para nosotros para manipulaciones matemáticas de amplitudes y frecuencias que para incrementos.

Primero, así es como los humanos perciben las frecuencias y amplitudes. Por ejemplo, la escala musical tiene que ver con las relaciones, con todo repitiendo cada octava (factor de 2). Puedes tomar una canción, escalar todas sus frecuencias en cierta cantidad, y sigue siendo la misma melodía. Sin embargo, si tuviera que agregar alguna cantidad a todas las frecuencias, ya no sería la misma melodía.

Alexander Graham Bell descubrió hace mucho tiempo que los humanos perciben el volumen en una escala logarítmica. Un factor fijo de cambio de sonoridad suena más como un incremento fijo para nosotros. Es por esto que inventó una escala logarítmica para medir la sonoridad, que es de donde obtuvimos dB (deci-Bels). Un cambio en el volumen de +6 dB nos suena como un incremento, aunque en realidad es un cambio de relación (alrededor de un factor de 4 en el caso de 6 dB). Por ejemplo, al pasar de 50 a 56 dBA, suena más o menos como el mismo incremento para nosotros de 60 a 66 dBA, aunque el segundo es más de 3 veces más cuando se contabiliza como un incremento de potencia.

Los humanos no solo piensan en amplitud y frecuencia de manera logarítmica, sino que también los cálculos matemáticos son mejores. Estas dos razones es la razón por la que usualmente usamos diagramas de Bode para mostrar respuestas de frecuencia. Tenga en cuenta que una gráfica de Bode es Log (amplitud) como una función de Log (frecuencia).

Algunas cosas convenientes suceden cuando ves los filtros de esta manera. Grafique la respuesta de dos filtros R-C simples en una gráfica de Bode y en una gráfica lineal como comparación. Digamos que el primero es un filtro de paso bajo con un punto de reducción de 1 kHz, y el segundo a 10 kHz. En un diagrama de Bode, estos se verán idénticos, excepto que uno se desplaza una década en frecuencia respecto del otro. En una gráfica lineal, estos serán bastante diferentes, y mucho más difíciles de ver, son realmente lo mismo en dos frecuencias diferentes. Intentalo. No, en realidad, en realidad haz una gráfica para ver a qué me refiero.

A modo de ilustración, considere el filtro de paso de banda a continuación.

La función de respuesta de frecuencia es: \ $ \ small \ frac {V2} {V1} = G (j \ omega) = \ large \ frac {R} {R + j (\ omega L- \ frac {1} {\ omega C})} \ $

y la ganancia es: \ $ \ small G (\ omega) = \ large \ frac {R} {\ sqrt {R ^ 2 + (\ omega L- \ frac {1} {\ large \ omega C}) ^ 2}} \ $

La frecuencia de resonancia, \ $ \ small \ omega_r \ $, se define cuando \ $ \ small \ omega L = \ large \ frac {1} {\ omega C} \ $, dando \ $ \ omega_r = \ frac {1} {\ sqrt {LC}} \ $, y la ganancia en resonancia es la unidad.

Podemos determinar el ancho de banda de este filtro calculando las dos frecuencias de la esquina, por ejemplo \ $ \ small \ omega_l \ $ y \ $ \ small \ omega_u \ $, donde la ganancia es 3dB desde la ganancia en resonancia, o en otras palabras, donde la ganancia es \ $ \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ $.

De la ecuación de ganancia, \ $ \ small \ omega_l \ $ y \ $ \ small \ omega_u \ $ debe definirse por \ $ \ small (\ omega L- \ large \ frac {1} {\ omega C} ) ^ 2 = \ small R ^ 2 \ $, y podemos determinar \ $ \ small \ omega_l \ $ y \ $ \ small \ omega_u \ $ resolviendo la ecuación cuadrática: \ $ \ small \ omega ^ 2 LC- \ omega RC-1 = 0 \ $, teniendo en cuenta que \ $ \ omega \ $ debe ser un valor positivo.

Por lo tanto: \ $ \ omega_l = \ frac {\ sqrt {R ^ 2C ^ 2 + 4LC} -RC} {2LC} \ $ y \ $ \ omega_u = \ frac {\ sqrt {R ^ 2C ^ 2 + 4LC} + RC} {2LC} \ $

Ahora, la media geométrica, \ $ \ omega_c \ $, de \ $ \ omega_l \ $ y \ $ \ omega_u \ $, se define cuando: \ $ \ large \ frac {\ omega_u} {\ omega_c} = \ frac {\ omega_c} {\ omega_l} \ $, o \ $ {\ omega_c} ^ 2 = \ omega_l \: \ omega_u = \ frac {1} {LC} = {\ omega_r} ^ 2 \ $. Por lo tanto $$ \ large \ omega_c = \ omega_r $$

Es decir, la media geométrica de las frecuencias de esquina es la frecuencia de resonancia.

No creo que sea correcto decir que la frecuencia central de un paso de banda "se definió así" (basado en las relaciones mencionadas). Esta propiedad (valor medio geométrico de los cortes de 3dB) es solo el RESULTADO de la definición. Y la definición de una frecuencia central de paso de banda (segundo orden) se basa simplemente en la magnitud máxima en f = fo. Este máximo se alcanza cuando el denominador asume su mínimo. En este caso, ambas partes reales del denominador se cancelan entre sí y tenemos H (jwo) = Ajwo / Bjwo = A / B .

Esta es una relación real. Por lo tanto, definimos: En la frecuencia central f = fo el paso de banda de segundo orden tiene ganancia máxima (atenuación mínima) y fase cero de cambio.

Esta es la definición: todas las demás propiedades son el resultado de esta definición y se pueden usar para hacer que esta definición sea descriptiva y lógica.

EDIT: Las explicaciones anteriores se basan en la forma clásica ("normal") de un paso de banda de segundo orden con un denominador escrito como polinominal de segundo orden en s: H (s ) = Como / [1 + Bs + (s / wp) ²] .