¿Por qué los fasores no dan el estado transitorio?

El análisis de fasores nos permite analizar la respuesta de un circuito a una respuesta sinusoidal de estado estable a una frecuencia única determinada. Representamos un voltaje en el dominio del tiempo \ $ V (t) = V_ {0} cos (\ omega t + \ phi) \ $ en forma de fasor al transformarlo en un exponencial complejo a través de la fórmula de Euler ...

$$ A \ cos (\ omega t + \ phi) = Re \ {Ae ^ {j (\ omega t ~ + ~ \ phi)} \} = Re \ {Ae ^ {j \ phi} e ^ {j \ omega t} \} $$

... y luego ignorando la dependencia de frecuencia / tiempo (ya que asumimos que todo en el circuito está excitado por una sinusoide constante de la misma frecuencia). Por lo tanto,

$$ V = Ae ^ {j \ phi} $$

Este \ $ V \ $ es lo que llamamos un fasor. Podemos representar cualquier corriente o voltaje como un fasor. Para recuperar una representación de dominio de tiempo de un fasor, puede multiplicarla por \ $ e ^ {j \ omega t} \ $ y luego tomar la parte real. Tenga en cuenta que a veces por razones de brevedad / familiaridad en el cálculo de la potencia, también convertimos la amplitud del fasor en valores RMS (divida la magnitud por \ $ \ sqrt {2} \ $ para una sinusoide). Los fasores nos permiten utilizar técnicas de análisis de CC análogas para recuperar las funciones de transferencia de circuitos lineales (mediante el uso de impedancias). Usando la superposición, podemos usar el análisis de Fourier para analizar la respuesta de estado estable completa de un circuito como la suma de su respuesta de estado estable debido a diferentes componentes de frecuencia.

Es útil observar la relación de los fasores con la representación de Laplace de un circuito. La representación de Laplace de un circuito utiliza la variable \ $ s = \ sigma + j \ omega \ $. Tenga en cuenta que para \ $ \ sigma = 0 \ $, la función de transferencia de la representación de Laplace de un circuito se reduce a la representación del fasor. Esta es una buena indicación de que la parte real de \ $ s \ $ representa una respuesta transitoria (y esto se puede observar fácilmente observando que \ $ e ^ {at} \ $ para cualquier \ $ a \ $ real resultará en un valor real que crece o decae exponencialmente). Tenga en cuenta que la representación de Laplace es una representación más general de un circuito que incluye respuestas transitorias y de estado estable. Del mismo modo, es bueno tener en cuenta que la transformada de Fourier es solo un caso especial de la transformada de Laplace más general (el caso donde \ $ \ sigma = 0 \ $ in \ $ s = j \ omega \ $).

Matemáticamente, nada se pierde. El análisis de fasor le da el valor de cada voltaje y corriente en el circuito para siempre, en forma de funciones de coseno:

$$ V_a = A_1 \ cos (\ omega t + \ phi_1) $$ $$ V_b = A_2 \ cos (\ omega t + \ phi_2) $$ $$ I_c = A_3 \ cos (\ omega t + \ phi_3) $$ $$ etc. $$

Especificas \ $ \ omega \ $ y la amplitud y fase para al menos un voltaje o corriente, y el análisis de fasores te da \ $ A \ $ y \ $ \ phi \ $ para todo el resto.

El problema no es que la conducta transitoria se pierda, ¡es que nunca la pusiste! Por definición , el análisis de fasores funciona en sinusoides eternos invariables en una sola frecuencia aplicada a un sistema lineal invariante en el tiempo, el llamado estado estacionario sinusoidal. "Estado estacionario" es lo opuesto a "transitorio". Puede extender esto para cubrir el crecimiento exponencial y la decadencia, pero nuevamente, esto es eterno y decaimiento. Las matemáticas solo funcionan porque sus voltajes y corrientes son exponenciales complejas, que no se distorsionan con ecuaciones diferenciales lineales.

Para describir una situación en la que mueves un interruptor a t = 0, necesitas usar una función de pasos. Las funciones escalonadas no se pueden representar con una sola frecuencia, por lo que el análisis de fasores se descompone. Para manejar esto, necesitas usar el análisis de Fourier.

Sé que esta es una respuesta tardía, pero quiero dar una idea diferente de por qué los fasores solo dan la respuesta de estado estable.

Considere el conocido circuito RC, con una fuente de conducción \ $ v_s = \ text {V} \ cos (\ omega t + \ phi) \ $, entonces tiene la ecuación diferencial:

$$ \ text {RC} \ dfrac {dv_c} {dt} + v_c = \ cos (\ omega t + \ phi) $$

Desde un punto de vista matemático, puede resolver esta ecuación diferencial al encontrar la solución homogénea y una solución particular y cuando las suma, obtiene la solución general . Hasta ahora todo bien.

Los fasores le dan solo una solución particular (no le da la solución homogénea, que es la solución transitoria) y la solución particular es lo que llamamos la respuesta de estado estable.

En otras palabras, la solución homogénea (respuesta transitoria o natural) es la solución para

$$ \ dfrac {dv_c} {dt} + \ dfrac {1} {\ text {RC}} v_c = 0 $$

que puedes encontrar por el método del factor de integración.

Y la solución particular , utilizando el hecho de que puede escribir la fuente de entrada como \ $ \ Re \ {\ text {V} e ^ {j \ omega t} e ^ {j \ phi} \} \ $, donde \ $ \ Re \ $ significa la parte real de. Para la solución particular, hacemos una 'conjetura', basada en la función de forzado:

$$ \ dfrac {dv_c} {dt} + \ dfrac {1} {\ text {RC}} v_c = \ dfrac {\ text {V}} {\ text {RC}} e ^ {j \ phi } e ^ {j \ omega t} $$

Si cree que su solución particular tiene la forma \ $ v_ {c, p} = \ text {A} e ^ {j \ omega t} \ $, donde \ $ A \ $ también será un fasor ( Tendrá una magnitud y una fase al final), al igual que \ $ \ text {V} e ^ {j \ phi} \ $ is, por la definición de un fasor. $$ j \ omega \ text {A} e ^ {j \ omega t} + \ dfrac {1} {\ text {RC}} \ text {A} e ^ {j \ omega t} = \ dfrac {\ text {V}} {\ text {RC}} e ^ {j \ phi} e ^ {j \ omega t} $$ que puede simplificar dividiendo por \ $ e ^ {j \ omega t} \ $ y factorizando los \ $ \ text {A} \ $ términos

$$ \ text {A} \ bigg (j \ omega + \ dfrac {1} {\ text {RC}} \ bigg) = \ dfrac {\ text {V}} {\ text {RC}} e ^ {j \ phi} $$

$$ \ text {A} = \ dfrac {\ text {V} e ^ {j \ phi}} {j \ omega \ text {RC} +1} $$

Y al final, \ $ \ text {A} \ $, será un fasor del formulario:

$$ \ text {A} = | \ text {A} | \ angle {\ theta} $$

Entonces, cuando encuentra \ $ v_ {c, p} \ $, solo tiene la solución particular (respuesta forzada, estado estable). Aún necesitarías encontrar la solución a la ecuación homogénea antes mencionada para tener una respuesta completa.

En resumen, los fasores te dan una solución particular a la ecuación diferencial.

Como Adam y Auston ya señalaron, la información transitoria nunca se incluye en el análisis de fasores, al menos no en 2D. Ponerlo requeriría una dimensión adicional, como esta envoltura de fasor 3D de una onda sinusoidal modulada en amplitud.

Un transitorio, como el decaimiento de una oscilación amortiguada, se vería como un vector giratorio en forma de cono que decae de manera exponencial. Los números complejos tampoco serían adecuados.

Los fasores asumen una forma de onda sinusoidal, los sinusoides duran para siempre, no tienen ningún comportamiento transitorio. La parte transitoria se pierde de la misma manera que puede asumir que un condensador que se ha estado cargando por "mucho tiempo" está completamente cargado.