¿Cómo controlar este sistema usando un solo circuito Opamp?

1) Quieres decir: un temporizador para todas las 20 salidas. Claro que es posible, pero entonces necesitarías circuitos adicionales para detectar qué interruptor se presionó y solo habilitar la salida correspondiente. Al final, eso probablemente sería tan complejo como usar 20 opamps.

2) ¡El TIP120 es un transistor Darlington, por lo que empujar 25 mA en su base es un exceso! El valor mínimo de Hfe es 1000, por lo que si cambiara 10 A, solo 10 mA sería suficiente. Yo duplicaría R11 a 1 kΩ haciendo la vida un poco más fácil para el LM324.

Pero si quieres algo más simple, ¿por qué no reemplazar los temporizadores opamp con un microcontrolador? (odio decir esto, porque soy una persona muy analógica :-))?

O reemplace el TIP122 con un NMOSFET de potencia y haga algo muy simple como esto:

Veo que su suministro para los imanes es de 48 V, esto podría ser demasiado para la fuente de la puerta del MOSFET. Si es así, podría derivar un voltaje más bajo de esos 48 V y usarlo para la parte del temporizador. El NMOSFET usualmente solo necesita 5 - 10 V para llevar a cabo completamente. Para ajustar los 10 segundos hay un trimmer. Si sus condensadores de 1 uF son lo suficientemente precisos, es posible que solo necesite una resistencia única.

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}