AC RMS y voltaje promedio de CC

Es una muy buena pregunta, realmente.

Comience con una carga constante, \ $ R \ $, conectada a una tensión de alimentación que varía con el tiempo. Suponiendo que la tensión de alimentación variable en el tiempo es periódica (generalmente),

$$ \ begin {align *} \ overline {P} & = \ frac {1} {T} \ int_0 ^ T V_t \: I_t \: \: \ textrm {d} t \ label {avepwr} \ tag {Promedio de potencia} \ end {align *} $$

El valor de \ $ T \ $ anterior generalmente se elige para cubrir exactamente "un ciclo" de la forma de onda de voltaje periódico (\ $ T = \ frac {1} {f} \ $.) Dada una carga simple, \ $ R \ $, cada ciclo sucesivo tendrá exactamente el mismo resultado.

Suponga \ $ V_t = V_P \: \ operatorname {sin} \ left (2 \ pi \: f \: t \ right) \ $, con \ $ V_P \ $ como la tensión máxima, luego:

$$ \ begin {align *} V_t & = V_P \: \ operatorname {sin} \ left (2 \ pi \: f \: t \ right) \\\\ I_t = \ frac {V_t} {R} & = \ frac {V_P} {R} \: \ operatorname {sin} \ left (2 \ pi \: f \: t \ right) \\\\ \por lo tanto\\\\ \ overline {P} & = \ frac {1} {T} \ int_0 ^ T \ bigg [V_P \: \ operatorname {sin} \ left (2 \ pi \: f \: t \ right) \ bigg] \ : \ left [\ frac {V_P} {R} \: \ operatorname {sin} \ left (2 \ pi \: f \: t \ right) \ right] \: \: \ textrm {d} t \\\ \ & = \ frac {V_P ^ 2} {R} \ frac {1} {T} \ int_0 ^ T \ operatorname {sin} ^ 2 \ left (2 \ pi \: f \: t \ right) \: \ : \ textrm {d} t \ end {align *} $$

Usando un cambio de variable, donde \ $ \ theta = 2 \ pi \: f \: t \ $ y \ $ \ textrm {d} \ theta = 2 \ pi \: f \: \ textrm {d} t \ $, obtenemos:

$$ \ begin {align *} \ overline {P} & = \ frac {V_P ^ 2} {R} f \ int_0 ^ {2 \ pi} \ operatorname {sin} ^ 2 \ left (\ theta \ right) \: \: \ frac {\ textrm {d} \ theta} {2 \ pi \: f} \\\\ & = \ frac {V_P ^ 2} {R} \ frac {1} {2 \ pi} \ int_0 ^ {2 \ pi} \ operatorname {sin} ^ 2 \ left (\ theta \ right) \: \: \ textrm {d} \ theta \\\\ & = \ frac {V_P ^ 2} {R} \ frac {1} {2 \ pi} \ left [\ frac {1} {2} \ theta- \ frac {1} {4} \ operatorname {sin} \ left (2 \ theta \ right) \ right] \ bigg | _0 ^ {2 \ pi} \\\\ & = \ frac {1} {2} \ frac {V_P ^ 2} {R} \ end {align *} $$

Pero en un circuito de CC, \ $ P_ {DC} = \ frac {V_ {DC} ^ 2} {R} \ $. Entonces, tomando \ $ \ overline {P} = P_ {DC} \ $ y \ $ R \ $ como constante, entonces debe ser que la equivalencia sea \ $ V_ {DC} ^ 2 \ equiv \ frac {1} { 2} V_P ^ 2 \ $ o que \ $ V_ {DC} \ equiv \ sqrt {\ frac {1} {2}} V_P \ approx .7071 \: V_P \ $.

Esto solo funciona para el caso analizado anterior, donde estamos tratando de estimar un voltaje de CC equivalente que produciría la misma potencia promedio en una carga constante, \ $ R \ $.

Ahora, el voltaje promedio es una pregunta diferente, por completo. No pregunta: "¿Cuál es el equivalente de voltaje de CC que produciría la misma potencia en una carga constante, \ $ R \ $?" El voltaje promedio simplemente pregunta: "¿Cuál es el voltaje promedio?" Así que obtienes una ecuación diferente. Para evitar tratar con un operador de valor absoluto, elija tomar el promedio durante solo la mitad de un ciclo, o \ $ T = \ frac {1} {2 \: f} \ $:

$$ \ begin {align *} \ overline {V} & = \ frac {1} {T} \ int_0 ^ T V_t \: \ textrm {d} t \ label {avev} \ tag {Voltaje promedio} \\\\ & = \ frac {1} {T} \ int_0 ^ T V_P \: \ operatorname {sin} \ left (2 \ pi \: f \: t \ right) \: \ textrm {d} t \\\\ & = 2 \: f \: V_P \ int_0 ^ \ pi \ operatorname {sin} \ left (\ theta \ right) \: \ frac {\ textrm {d} \ theta} {2 \ pi \: f} \ \\\ & = \ frac {V_P} {\ pi} \ int_0 ^ \ pi \ operatorname {sin} \ left (\ theta \ right) \: \ textrm {d} \ theta \\\\ & = \ frac {V_P} {\ pi} \ bigg [- \ operatorname {cos} \ left (\ theta \ right) \ bigg] \ bigg | _0 ^ {\ pi} \\\\ & = \ frac {2} {\ pi} V_P \ end {align *} $$

Allí, encuentras que \ $ \ frac {2} {\ pi} \ approx .62662 \ $.

Sin embargo, el voltaje promedio no le compra un voltaje equivalente para los propósitos de un cálculo de potencia. Simplemente te da un voltaje promedio.

Esto podría ser útil en el caso de que un circuito electrónico esté midiendo realmente el voltaje promedio, como cuando se usa un capacitor integrado y una resistencia:

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

Si operó el circuito anterior para exactamente \ $ T = 10 \: \ textrm {ms} \ $, asumiendo que el condensador se descargó completamente al principio, entonces \ $ V_ {OUT} \ approx-6.37 \: \ textrm {V} \ $ al final de ese período.

Tenga en cuenta que el circuito anterior no le informa sobre el poder. Sólo el voltaje promedio. Diferentes cosas, de verdad.

Algunos voltímetros miden el voltaje promedio (los más baratos). Algunos mejores también medirán el voltaje RMS para usted. Pero eso requiere un tipo de equipo de medición diferente (y generalmente más caro).

Tomar el CD promedio no es el mismo tipo de operación que tomar el RMS.

  

Entiendo la idea de RMS, que para calcular algo similar a un "voltaje promedio" para CA debemos cuadrar los valores negativos de la onda del pecado Y los valores positivos, obteniéndonos voltajes positivos al cuadrado. Luego encontramos la media de esos dos "pulsos de CC" y luego encontramos la raíz de ese promedio para obtener RMS.

Usted admitirá que hay al menos dos formas de calcular algo similar a un voltaje promedio de una forma de onda de CA. Una es rectificar la forma de onda, tomando el valor absoluto antes de promediar. El otro es cuadrarlo, lo que incidentalmente da el mismo signo a los semiciclos positivos y negativos, antes de promediar. Ambos promedios son válidos, pero se utilizan para diferentes propósitos.

Este efecto secundario de dar el mismo signo después de la cuadratura es no la razón principal para calcular un RMS. La razón principal es para poder calcular el efecto de calentamiento de la forma de onda de CA, es decir, obtener la potencia de la forma de onda de CA, o encontrar el valor de la forma de onda de CC que tiene la misma potencia de calentamiento.

Es bastante fácil construir una forma de onda que tenga un promedio de DC y RMS diferentes. Considere un voltaje constante de 1. Eso tiene un promedio de RMS y DC de 1. Ahora use pulsos de altura 2v, con un ciclo de trabajo del 25%. El promedio de CC bajará a 0.5, sin embargo, la potencia de calefacción permanece en 1v, porque cuadramos el voltaje para obtener la potencia de calefacción.

La mayoría de los DMM baratos realmente realizan la rectificación y el promedio de CC cuando miden las señales de CA, y escalan los resultados para que lean lo mismo que RMS cuando miden una onda sinusoidal. Es bastante costoso realizar la operación de cuadratura necesaria para RMS, por lo que los medidores que lo hacen correctamente suelen poner 'verdadero RMS' en la parte frontal del medidor para justificar su precio más alto. La escala rms de un medidor barato falla cuando la forma de onda no es sinusoidal. La forma de onda del pulso anterior sería leída muy erróneamente por un DMM barato, se leería 0.5, cuando el resultado verdadero es 1.