Con el error de estimación definido como \ $ e = x - \ hat {x} \ $, la estabilidad exponencial uniforme (UES) del sistema de error \ $ \ dot {e} = (A-LC) e \ $ does no implica \ $ x \ a 0 \ $ o \ $ \ hat {x} \ a 0 \ $, como sugirió. En realidad, la razón por la que UES es una condición más fuerte que \ $ e \ a 0 \ $ es que UES nos dice algo sobre con qué rapidez \ $ e \ $ converge a \ $ 0 \ $. En términos generales, la palabra exponencial nos dice que \ $ e \ $ se aproxima a cero al menos tan rápido como un decaimiento exponencial , mientras que uniforme nos dice que esta tasa de convergencia no cambia con el tiempo . Esta 'uniformidad' es importante cuando se trata de \ $ A (t) \ $ variable en el tiempo, porque si la convergencia no es uniforme, podemos tener casos patológicos en los que la convergencia a \ $ 0 \ $ se hace más lenta con el tiempo, de modo que mantenemos un gran error \ $ e \ $ durante un período de tiempo arbitrariamente largo.
Para proporcionar un contexto para que otros lean esta pregunta, en este problema de estimación de estado queremos estimar el estado \ $ x \ $ de un sistema de espacio de estados (lineal, variable en el tiempo)
$$ \ dot {x} = A (t) x, \ qquad y = C (t) x $$
formando alguna estimación \ $ \ hat {x} \ $. Podemos realizar dicha estimación simulando el sistema y aplicando algunos comentarios de la salida como
$$ \ dot {\ hat {x}} = A (t) \ hat {x} + L (t) (y-C (t) \ hat {x}) $$
y queremos diseñar \ $ L (t) \ $ para que nuestra estimación \ $ \ hat {x} \ $ converja a \ $ x \ $ después de algún tiempo. Analizamos esto introduciendo el error \ $ e = x- \ hat {x} \ $, que satisface
$$ \ punto {e} = (A (t) - L (t) C (t)) e $$
y al analizar la estabilidad de este sistema, podemos descubrir si el error \ $ e \ $ va a cero o no.
Para que la discusión sobre estabilidad sea más precisa, si decimos que el sistema de error es exponencialmente estable queremos decir que para cada condición inicial \ $ (t_0, e (0)) \ $ tenemos
$$
\ | e (t) \ | \ leq \ alpha \ | e (0) \ | \ exp (- \ beta t)
$$
para algunas constantes \ $ \ alpha > 0 \ $, \ $ \ beta > 0 \ $. Si decimos que es uniformemente exponencialmente estable , queremos decir que podemos encontrar algunos \ $ \ alpha > 0 \ $, \ $ \ beta > 0 \ $ de tal manera que esta desigualdad se satisfaga para cualquier inicial tiempo \ $ t_0 \ $. Cuando se trata de sistemas no lineales, a veces también decimos que la estabilidad es local o global dependiendo de si también restringimos \ $ e (0) \ $ para estar dentro de algunos Región del espacio estatal o no, pero para sistemas lineales como el que se considera aquí, no tenemos que preocuparnos por esto, ya que la estabilidad es automáticamente global.