Al mirar el circuito de botones, se puede calcular de la siguiente manera. Como saben, Kirchoff aplica en cada nodo todo el tiempo. En lugar de escribir Kirchoff utilizando corrientes, lo hacemos utilizando la carga (integral actual a lo largo del tiempo):
a) $$ Q_ {R1} = Q_ {C1} + Q_ {Cx} $$
b) $$ Q_ {Cx} = Q_ {C2} + Q_ {CL} $$
La carga total en cada condensador, al final, es su carga inicial más la carga que ha circulado posteriormente, es decir, QC1total = QC1initial + QC1 (en la ecuación anterior).
Por lo tanto, las cargas iniciales (antes de que la corriente comience a fluir) deben ser conocidas para resolver el problema. Asumiremos que la carga inicial de todos los condensadores es 0 y, por lo tanto, QC1total = 0 + QC1 = QC1, QC2total = QC2, etc.
Usando la segunda ley de Kirchoff, ahora podemos escribir los voltajes finales, sabiendo que las corrientes finales serán 0, y por lo tanto no hay una caída de voltaje en las resistencias.
I) $$ - Vd + V1 = 0 \ rightarrow -Vd + \ frac {Q_ {C1}} {C1} = 0 $$
II) $$ - V1 + Vx + V2 + Vd = 0 \ rightarrow \ frac {-Q_ {C1}} {C1} + \ frac {Q_ {Cx}} {Cx} + \ frac {Q_ {C2 }} {C2} + Vd = 0 $$
III) $$ - Vd-V2 + Vout = 0 \ rightarrow -Vd- \ frac {Q_ {C2}} {C2} + \ frac {Q_ {CL}} {CL} = 0 $$
Con esas 3 ecuaciones más la ecuación en b) obtienes 4 ecuaciones con 4 incógnitas.
La ecuación en b) dice de hecho que \ $ \ Delta Q_ {Cx} = \ Delta Q_ {C2} + \ Delta Q_ {CL} \ $, es decir $$ Q_ {Cx} -Q_ {C2} -Q_ {CL} = Q_ {previousCx} -Q_ {previousC2} -Q_ {previousCL} $$
Tomando la ecuación II, III y la última, puedes escribir en forma de matriz
$$ \ left (\ begin {array} {c} 0 \\ Vd \\ Q_ {previousCx} -Q_ {previousC2} -Q_ {previousCL} \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {ccc}
\ frac 1 {Cx} & \ frac 1 {C2} & 0 \\
0 & - \ frac 1 {C2} & \ frac 1 {CL} \\
1 & -1 & -1 \ end {array} \ right) \ cdot \ left (\ begin {array} {c} Qx \\ Q2 \\ QL \ end {array} \ right) $$
Esto se puede resolver invirtiendo la matriz y multiplicando por el vector de la izquierda, donde debe usar los valores anteriores de la carga del capacitor (al principio serán 0).
Después de hacer esto, debes obtener las ecuaciones para el otro valor de CLK. Verá que la matriz no cambia, solo el vector cambia (posición de swaps Vd con 0) y usará como Qprevious las cargas obtenidas en el paso anterior. Después de multiplicar, obtendrás los nuevos valores de Q y podrás iterar nuevamente con otro valor de CLK.
Verás que el voltaje de salida tiene una fluctuación (oscila entre 2 valores). Para sus simulaciones, elija un reloj lento y verá la misma onda. Si el reloj es rápido, el voltaje de salida no tendrá fluctuación, pero su valor final será el promedio entre los 2 valores obtenidos de las ecuaciones.
Ejemplo usando Vd = 5V, C1 = 1uF, Cx = 0.1 uF, C2 = 1uF, CL = 1uF y un CLK lento de 10 Hz, aquí está la simulación:
Puedesverqueoscilaentre2.619Vy238.1mV.
Obtenemoslosmismosresultadosresolviendo,enMatlab,lasecuacionesestablecidasanteriormente:
Si aumenta el reloj, la tensión de salida se suaviza como puede ver en esta simulación (CLK cambiado a 100 kHz):
El voltaje final es 1.43 V, que puede reconocer como el promedio entre 2.619 V y 238.1 mV.
