Respuesta de entrada de la unidad - sistema LTI

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Sean S1 y S2 2 sistemas LTI con respuestas al impulso unitario dado por \ $ g_1 (t) \ $ y \ $ g_2 (t) \ $. Considere que asociamos S1 y S2. Sabiendo que \ $ g_1 (t) = e ^ {- t} u (t) \ $ (u es la función del lado pesado) y \ $ g_2 (t) = e ^ {- \ alpha t} u (t), \ alpha > 0 \ $ y real, determine la respuesta al impulso unitario de la asociación de estos sistemas. Utilice la transformada de Laplace y sus propiedades.

Mi duda : no entiendo por qué usar las propiedades de transformación de Laplace. ¿No es la respuesta la convolución entre \ $ g_1 \ $ y \ $ g_2 \ $? Esto debería ser 0 para \ $ t \ leq 0 \ $ y \ $ \ int_0 ^ t e ^ {t- \ tau} e ^ {\ alpha \ tau} d \ tau \ $ para \ $ t > 0 \ $

¿Qué estoy haciendo mal?

¡Gracias!

    
pregunta Giiovanna

1 respuesta

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Suponiendo que con "asociado" quiere decir "poner en serie", es decir, que engancha la salida S1 a la entrada S2, entonces no está haciendo nada mal. El problema es que a veces (muchas veces) resolver una integral de convolución no es una tarea fácil, por lo que prefieres la transformada de Laplace.

Comencemos calculando \ $ G_1 (s) \ $ y \ $ G_2 (s) \ $:

\ $ g_2 (t) = e ^ {- \ alpha t} u (t) \ $, pero \ $ U (s) = \ mathcal {L} \ {u (t) \} = \ frac { 1} {s} \ $ y puede usar la propiedad cambio de frecuencia que va: $$ e ^ {at} f (t) \ leftrightarrow F (s-a) $$ finalmente: $$ G_2 (s) = \ frac {1} {s + \ alpha} $$

Se llama decaimiento exponencial y generalmente se proporciona en las tablas de transformadas de Laplace. Por supuesto \ $ G_1 (s) = G_2 (s) | _ {\ alpha = 1} \ $ para que: $$ G_1 (s) = \ frac {1} {s + 1} $$ Ahora estamos buscando $$ G (s) \ triangleq G_1 (s) G_2 (s) = \ frac {1} {s + 1} \ frac {1} {s + \ alpha} = \ frac {A} {s + 1} + \ frac {B} {s + \ alpha} = \ frac {s (A + B) + A \ alpha + B} {(s + 1) (s + \ alpha)} $$ Desde el último paso puede encontrar \ $ A = -B = \ frac {1} {\ alpha-1} \ $, ahora estamos en: $$ G (s) = \ frac {1} {\ alpha-1} \ left (\ frac {1} {s + 1} - \ frac {1} {s + \ alpha} \ right) $$

La anti transformada es bastante simple ahora, ya que ambos términos entre paréntesis son transformaciones conocidas:

$$ g (t) = u (t) \ frac {1} {\ alpha-1} \ left (e ^ {- t} -e ^ {- \ alpha t} \ right) $$

¿Podrías obtener este resultado de tu integral? Probablemente. ¿Tuviste? No, y eso es porque las integrales son tan aburridas . Además, su libro / maestro probablemente quiso que usara todo el material A y B, también conocido como descomposición de fracción parcial .

La transformada de Laplace es una gran arma, aprende a usarla y serás recompensado.

    
respondido por el Vladimir Cravero

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