Suponiendo que con "asociado" quiere decir "poner en serie", es decir, que engancha la salida S1 a la entrada S2, entonces no está haciendo nada mal. El problema es que a veces (muchas veces) resolver una integral de convolución no es una tarea fácil, por lo que prefieres la transformada de Laplace.
Comencemos calculando \ $ G_1 (s) \ $ y \ $ G_2 (s) \ $:
\ $ g_2 (t) = e ^ {- \ alpha t} u (t) \ $, pero \ $ U (s) = \ mathcal {L} \ {u (t) \} = \ frac { 1} {s} \ $ y puede usar la propiedad cambio de frecuencia que va:
$$
e ^ {at} f (t) \ leftrightarrow F (s-a)
$$
finalmente:
$$
G_2 (s) = \ frac {1} {s + \ alpha}
$$
Se llama decaimiento exponencial y generalmente se proporciona en las tablas de transformadas de Laplace.
Por supuesto \ $ G_1 (s) = G_2 (s) | _ {\ alpha = 1} \ $ para que:
$$
G_1 (s) = \ frac {1} {s + 1}
$$
Ahora estamos buscando
$$ G (s) \ triangleq G_1 (s) G_2 (s) = \ frac {1} {s + 1} \ frac {1} {s + \ alpha} = \ frac {A} {s + 1} + \ frac {B} {s + \ alpha} = \ frac {s (A + B) + A \ alpha + B} {(s + 1) (s + \ alpha)} $$
Desde el último paso puede encontrar \ $ A = -B = \ frac {1} {\ alpha-1} \ $, ahora estamos en:
$$
G (s) = \ frac {1} {\ alpha-1} \ left (\ frac {1} {s + 1} - \ frac {1} {s + \ alpha} \ right)
$$
La anti transformada es bastante simple ahora, ya que ambos términos entre paréntesis son transformaciones conocidas:
$$
g (t) = u (t) \ frac {1} {\ alpha-1} \ left (e ^ {- t} -e ^ {- \ alpha t} \ right)
$$
¿Podrías obtener este resultado de tu integral? Probablemente. ¿Tuviste? No, y eso es porque las integrales son tan aburridas . Además, su libro / maestro probablemente quiso que usara todo el material A y B, también conocido como descomposición de fracción parcial .
La transformada de Laplace es una gran arma, aprende a usarla y serás recompensado.