¿Cómo resuelvo? $$ (X + Y) (\ bar X + \ bar Z) $$
Mi toma:
$$ X \ bar X + X \ bar Z + Y \ bar X + Y \ bar Z = X \ bar Z + Y \ bar X + Y \ bar Z $$
¿Pero después de esto? Es por suma de productos
¿Cómo resuelvo? $$ (X + Y) (\ bar X + \ bar Z) $$
Mi toma:
$$ X \ bar X + X \ bar Z + Y \ bar X + Y \ bar Z = X \ bar Z + Y \ bar X + Y \ bar Z $$
¿Pero después de esto? Es por suma de productos
No hay nada que "resolver". Tiene una fórmula de álgebra booleana que ha reorganizado de un producto de sumas a una suma de productos.
"Resolver" generalmente significa determinar valores para las variables. Eso requiere algunas restricciones. Necesitas convertir la fórmula en una ecuación. Y posiblemente necesite una ecuación adicional, o que se le den los valores de algunas de las variables (de modo que solo quede una).
Si asumimos que la ecuación a resolver es la siguiente:
$$ (X + Y) (\ bar X + \ bar Z) = 1 $$
En otras palabras, "¿sobre qué valores de dominio es verdadera esta fórmula?" entonces la solución es un conjunto: consiste en el conjunto de \ $ X \ $, \ $ Y \ $ y \ $ Z \ $ trillizos que satisfacen la ecuación. Podemos obtener este conjunto de soluciones escribiendo la tabla de verdad.
En una respuesta a esta pregunta de desbordamiento de pila hice una verdad programa generador de tablas, que podemos ejecutar desde nuestro indicador de Linux:
$ txr -i truth.tl
1> (pretty-truth-table '((x or y) and (not x or not z)))
x y z | (x or y) and (not x or not z)
--------------------+------------------------------
F F F | F
F F T | F
F T F | T
F T T | T
T F F | T
T F T | F
T T F | T
T T T | F
nil
De aquí podemos leer las soluciones: todos los valores \ $ X \ $, \ $ Y \ $ y \ $ Z \ $ de las columnas de variables, que tienen un T en la columna de fórmula.
Tenga en cuenta que esto es equivalente a simplemente convertir la fórmula en una suma de productos.
¿Podemos encontrar una fórmula más simple que calcule la misma función sobre las variables? Para eso, podemos usar la técnica del Mapa de Karnaugh, ya que solo hay tres variables. Ya que tenemos la tabla de verdad, es fácil rellenar el mapa:
Z 0 1
X Y +------
|
0 0 | 0 0
|
0 1 | 1 1
|
1 1 | 1 0
|
1 0 | 1 0
|
Y aquí es cómo podemos jugarlo:
Z 0 1
X Y +------
|
0 0 | 0 0
| +----+
0 1 | |1 1| X'Y term (Z is irrelevant)
| +----+
1 1 | 1 0
|
1 0 | 1 0
|
Z 0 1
X Y +------
|
0 0 | 0 0
|
0 1 | 1 1
| +-+------ XZ' term (Y is irrelevant)
1 1 | |1| 0
| | |
1 0 | |1| 0
| +-+
Terminamos con \ $ \ bar XY + X \ bar Z \ $. Esto no es realmente más simple que el original, porque todavía tiene cuatro variables, tres operadores binarios y dos negaciones únicas. Podemos dibujar los árboles de sintaxis para demostrar que la complejidad es exactamente la misma:
original: new:
and or
/ \ / \
or or and and
/ \ / \ / \ / \
X Y not not not Y X not
| | | |
X Z X Z
La complejidad bruta y sintáctica de la mejor expresión que podemos encontrar con un mapa de Karnaugh es exactamente la misma que la original.
Dicho esto, hay una cierta simplificación semántica en la representación de la suma de productos en que expone claramente las regiones del dominio variable XYZ. Da uso a una vista "de un vistazo" sobre ese espacio, diciéndonos dónde es verdadera la expresión, lo que es útil.
Es posible que deba convertir esta expresión a una forma canónica .
$$ X \ bar Z + Y \ bar X + Y \ bar Z = X \ bar Z (Y \ bar Y) + ... $$ $$ X \ bar Z + Y \ bar X + Y \ bar Z = X Y \ bar Z + X \ bar Y \ bar Z + ... $$
Esto es algo con lo que también luché, viendo qué usar. La forma más fácil de darle la vuelta es usar la Ley de deMorgan:
$$ \ begin {align} \\ \\ (X + Y) (\ bar X + \ bar Z) & = \ overline {\ overline {(X + Y)} + \ overline {(\ bar X + \ bar Z)}} \\ & = \ ldots \ text {su trabajo aquí} \ ldots \\ \\ \ end {align} $$
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