Creo que puedes mejorar mucho más de lo que estás logrando. Usted dice que si aumenta el volumen, el sonido se vuelve aceptable pero se distorsiona ...
Demos un paso atrás. Usted está alimentando su altavoz con una onda cuadrada. Esa es más o menos la definición de señal distorsionada. Si desea tener una señal más limpia y menos distorsionada en la salida, debe agregar un filtro de paso bajo en algún lugar de su ruta de señal.
Sin saber lo que hace o se supone que debe hacer tu circuito, ni conocer el esquema, solo voy a suponer que solo alimentarás esa onda cuadrada de 1kHz. También asumo que la señal de entrada es lo suficientemente rígida como para impulsar un filtro pasivo, simple, de paso bajo de primer orden.
Después de la tapa de entrada de 100 nF, agregue una resistencia en serie, entre la tapa y la entrada del amplificador, y conecte un condensador entre la entrada del amplificador y la conexión a tierra. Los valores agradables para los componentes deben ser 8.2nF y 3.9kohm. Obtendrá un filtro de paso bajo de primer orden con una frecuencia de corte de aproximadamente 5 kHz, que debería hacer el truco para limpiar su señal.