Prueba: solo el circuito recíproco es un circuito pasivo

Probar que el circuito solo disipa energía, nunca la crea. (= la potencia de entrada total a través de los puertos al circuito debe ser mayor o igual a cero), independientemente de las fuentes que estén conectadas a él.

Comentario: Cuando escribí por primera vez esta respuesta, la matriz en la pregunta era la matriz de impedancia, mientras que en la pregunta editada es la admitida. Las condiciones de pasividad que se indican a continuación se trasladan a la matriz de admisión (\ $ \ boldsymbol {Y} (s) + \ boldsymbol {Y ^ *} (s) \ $ no debe ser definida, etc.).

Primero, una observación sobre el título, "Sólo el circuito recíproco es un circuito pasivo": esta implicación es incorrecta y, en realidad, hay circuitos no recíprocos que también son pasivos (por ejemplo, un dispositivo Hall).

En general, se puede probar que una red eléctrica representada por una matriz de impedancia \ $ \ boldsymbol {Z} (s) \ $ es pasiva si y solo si (para una revisión, consulte, por ejemplo, P. Triverio et al. ," Estabilidad, causalidad y pasividad en electricidad Modelos de interconexión "):

1. cada elemento de \ $ \ boldsymbol {Z} (s) \ $ se define y es analítico en \ $ \ operatorname {Re} s > 0 \ $ (esto está efectivamente verificado para su matriz);
2. \ $ \ boldsymbol {Z} (s) + \ boldsymbol {Z ^ *} (s) \ $, donde \ $ \ boldsymbol {Z ^ *} (s) \ $ es el conjugado de Hermitian de \ $ \ boldsymbol {Z} (s) \ $, es una matriz definida no negativa (o, sinónimo, semidefinita positiva) para todos \ $ s \ $, de modo que \ $ \ operatorname {Re} s > 0 \ $ (esto es fácil de verificar para su matriz, ya que es una matriz constante);
3. \ $ \ boldsymbol {Z} (s ^ *) = \ boldsymbol {Z ^ *} (s) \ $ (esto está efectivamente verificado para su matriz).

La segunda condición se relaciona con el hecho de que en el régimen exponencial complejo la potencia promedio que ingresa a la red viene dada por (no doy una prueba completa, solo algunos consejos para obtener la idea: la prueba completa es bastante más involucrado)

$$ P = \ operatorname {Re} \ boldsymbol {V} ^ * \ boldsymbol {I} = \ frac {1} {2} (\ boldsymbol {V} ^ * \ boldsymbol {I} + \ boldsymbol { I} ^ * \ boldsymbol {V}) $$

donde \ $ \ boldsymbol {V} \ $ y \ $ \ boldsymbol {I} \ $ son respectivamente los vectores de los voltajes de los puertos y las corrientes de los puertos. Dado que \ $ \ boldsymbol {V} = \ boldsymbol {Z} \ boldsymbol {I} \ $, los rendimientos de la ecuación anterior

$$ P = \ frac {1} {2} \ boldsymbol {I} ^ * (\ boldsymbol {Z ^ *} + \ boldsymbol {Z}) \ boldsymbol {I}. $$

Dado que para un dispositivo pasivo, la potencia promedio que ingresa a la red debería ser positiva para todos los voltajes y corrientes admisibles , la ecuación anterior implica que \ $ \ boldsymbol {Z} (s) + \ boldsymbol { Z ^ *} (s) \ $ no debe ser definido como negativo.

Para su caso,

$$ \ boldsymbol {Z} + \ boldsymbol {Z ^ *} = \ pmatrix {0 & -1 \\ -1 & 0} $$

¿Cuáles son sus valores propios? ¿Es esta matriz positiva definida?