Teoría del pobre hombre del circuito LC

La solución a una ecuación diferencial involucra constantes arbitrarias (\ $ c_1 \ $ y \ $ c_2 \ $ en este caso) cuyo valor no se puede determinar a menos que las condiciones iniciales sean conocido. Es no necesario que uno de \ $ c_1 \ $ y \ $ c_2 \ $ sea cero. Ambos podrían ser distinto de cero, y todavía observará un (single) sinusoide de la misma frecuencia. Como @ pjc50 de forma convincente observado, es una cuestión de fase (es decir, el valor de la fase inicial). Tenga en cuenta que si \ $ a \ $ y \ $ b \ $ no son cero, entonces sum \ $ a \ cos (\ omega t) + b \ sin (\ omega t) \ $ no es la suma de dos sinusoides de diferentes frecuencias, sino más bien una única sinusoide de frecuencia \ $ \ omega \ $ rad / s de una fase inicial diferente:

$$ \ begin {align *} a \ cos (\ omega t) + b \ sin (\ omega t) & = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ left [\ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} \ cos (\ omega t) + \ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} \ sin (\ omega t) \ right] \\ & = \ left. \ left. \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ right [\ sin (\ theta) \ cos (\ omega t) + \ cos (\ theta) \ sin (\ omega t) \ right] \\ & = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ sin (\ omega t + \ theta) \\ & = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ cos (\ omega t + (\ theta - \ pi / 2)) \ end {align *} $$ donde \ $ \ theta = \ arctan \ left (\ frac {a} {b} \ right) \ $ y hemos usado la identidad \ $ \ sin (x) = \ cos (x- \ pi / 2) \ $ para llegar a esa última línea.

  

¿Existe una explicación simple sobre cómo elegir la constante correcta?   valores en el resultado?

Dado que esta es una ecuación diferencial de orden 2do , hay dos soluciones independientes y la solución general es simplemente una superposición ponderada.

Dilip ya ha respondido correctamente que las condiciones iniciales, el valor de i y \ $ \ dfrac {di} {dt} \ $ cuando \ $ t = 0 \ $, determinan los pesos.

\ $ i (0) = c_2 \ sin (0) + c_1 \ cos (0) = c_1 \ rightarrow c_1 = i (0) \ $

\ $ \ dfrac {di} {dt} (0) = \ sqrt {k} \ c_2 \ cos (0) - \ sqrt {k} \ c_1 \ sin (0) = \ sqrt {k} \ c_2 \ rightarrow c_2 = \ frac {1} {\ sqrt {k}} \ \ dfrac {di} {dt} (0) \ $