Obtuve ese sistema \ $ x_n \ a x_n-x_ {n-1} \ $, entonces \ $ h_n = [....., 0,1, -1,0, ...] \ $ , con \ $ h_0 = 1 \ $ y \ $ h_1 = -1 \ $, por lo que la función de transferencia dada por:
$$ H (\ omega) = \ sum_ {i = - \ infty} ^ {\ infty} h_ne ^ {- jwn} = h_0e ^ {- jw (0)} + h_1e ^ {- jw (1) } = 1-e ^ {- jw} $$. Cómo saber el tipo de filtro, si es filtro de paso alto, filtro de paso bajo, etc.
Aprecio tu ayuda.
Una respuesta completamente formal sería: dada la transformada z de una respuesta de impulso $$ h = (0, \ ldots, 0, 1, -1, 0, \ ldots, 0) $$ cual es $$ H (z) = \ sum ^ {\ infty} _ {n = - \ infty} h_n z ^ {- n} = h_0 + h_1 z ^ {- 1} $$ estudiamos la respuesta de frecuencia $$ H (z = e ^ {j 2 \ pi f T}) = h_0 + h_1 e ^ {- j 2 \ pi f T} = h_0 + h_1 \ cos (2 \ pi f T) - j h_1 \ sin (2 \ pi f T) $$ Claramente, $$ | H (z = e ^ {j 2 \ pi f T}) | = 0 $$ es lo mismo que $$ | H (z = e ^ {j 2 \ pi f T}) | ^ 2 = 0 \ Leftrightarrow (h_0 + h_1 \ cos (2 \ pi f T)) ^ 2 + (h_1 \ sin (2 \ pi f T)) ^ 2 = 0 $$ $$ h ^ 2_0 + h ^ 2_1 (\ cos (2 \ pi f T) ^ 2 + \ sin (2 \ pi f T) ^ 2) + 2 h_0 h_1 \ cos (2 \ pi f T) = h ^ 2_0 + h ^ 2_1 + 2 h_0 h_1 \ cos (2 \ pi f T) = 0 $$ Así que los ceros de esta función de transferencia están en $$ f_0 = \ frac {k} {2 \ pi T} \ text {arccos} \ left (- \ frac {h_0 ^ 2 h_1 ^ 2} {2 h_0 h_1} \ right), k \ in \ mathbb {Z } $$ Si $$ h_0 = 1, h_1 = -1 $$ entonces este es un diferenciador digital. Para $$ f \ en [0, 1 / T] = [0, f_s] $$ Las frecuencias en las que la respuesta de amplitud es 0 son $$ f_0 = \ frac {1} {2 \ pi T} \ text {arccos} (1/2) = \ frac {k} {T}, k \ in \ mathbf {Z} $$ por lo que prácticamente $$ f_0 = \ {0, f_s \} $$ lo que hace que este filtro sea la respuesta de paso alto más simple. En cuanto a la respuesta de fase, es simplemente $$ \ angle H (z = e ^ {j 2 \ pi f T}) = \ frac {\ pi} {2} - \ pi f T $$ El caso dual es el integrador digital, es decir, $$ h_0 = h_1 = 1 $$
Otra forma de derivar la respuesta diferenciadora es $$ H (z = e ^ {j 2 \ pi f T}) = 1 - e ^ {- j 2 \ pi f T} = (e ^ {j \ pi f T} - e ^ {- j \ pi f T}) e ^ {- j \ pi f T} = j 2 \ sin (\ pi f T) e ^ {- j \ pi f T} $$ También podemos definir $$ G (f) = | H (z = e ^ {j 2 \ pi f T}) | = 2 \ sin (\ pi f T) $$ con $$ f \ en [0, f_s] $$. Es incluso más sencillo ver que $$ G (f) = 2 \ sin (\ pi f T) = 0 \ Leftrightarrow f = \ {0, f_s = \ frac {1} {T} \} $$ De esta manera, también es más fácil ver que la respuesta de fase es $$ \ ángulo H (z = e ^ {j 2 \ pi f T}) = \ ángulo j + \ ángulo G (f) - \ pi f T = \ frac {\ pi} {2} + 0 - \ pi f T $$
Una de las tantas soluciones disponibles es que simplemente amplíe la función de transferencia y escriba sus partes reales e imaginarias por separado. Luego considere la magnitud del término complejo. Ahora encuentre Magnitude reemplazando 'w' con 0 (cero) y '2pi'. Dependiendo de los valores obtenidos, puedes decidir qué filtro es.