polos conjugados, no conjugados y únicos en un sistema de circuito RLC

Esta forma general para este tipo de filtro de paso bajo es: -

\ $ H (s) = \ dfrac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_n s + \ omega_n ^ 2} \ $

Y si resuelves el cuadrático en el denominador (para revelar los polos) obtienes: -

\ $ s = \ dfrac {-2 \ zeta \ omega_n \ pm 2 \ omega_n \ sqrt {\ zeta ^ 2-1}} {2} \ $ \ $ = \ omega_n (- \ zeta \ pm \ sqrt {\ zeta ^ 2-1}) \ $

Luego, si analizas la raíz cuadrada, puedes ver que para una amortiguación baja (zeta baja) obtienes la raíz cuadrada de un número negativo, por lo tanto, esa parte de la ecuación implica "j" y obtienes polos complejos conjugados en algunos fracción de +/- \ $ \ omega_n \ $.

Cuando la amortiguación (zeta) alcanza la unidad, no hay polos más complejos y un solo polo se encuentra en el eje real en \ $ - \ zeta \ omega_n \ $. Esto luego se divide en dos polos (a lo largo del eje real) a medida que la zeta se eleva por encima de 1.

Un valor bajo de zeta no se amortigua, por lo tanto, obtienes una respuesta pico en la gráfica de bode y obtienes polos conjugados. Cuando zeta = 1 obtiene una amortiguación crítica y cuando zeta es mayor que 1, obtiene un filtro de segundo orden bastante descuidado que comienza a parecer un filtro de primer orden cuando R domina sobre \ $ X_L \ $.

Para obtener los números necesitamos saber cómo se relacionan zeta y omega con los valores R, L y C: -

\ $ \ zeta = \ dfrac {R} {2} \ sqrt {\ dfrac {C} {L}} \ $ y \ $ \ omega_n = \ dfrac {1} {\ sqrt {LC}} \ $

Para R = 10, C = 0.00001 y L = 0.001, zeta = 0.5 y Wn = 10,000 y esto es como muestra los polos conjugados en su primer gráfico.

Para R = 10 y C = L = 0.001, zeta = 5 y Wn = 1,000, por lo que los polos están en: -

\ $ s = 1000 (-5 \ pm \ sqrt {24} \ $) = -9899 y -101 y no puedo decir con precisión si esto se corresponde con su gráfico pero parece cercano.

Para R = 100 y C - L = 0.001, zeta = 50 y Wn = 1,000, por lo que los polos están en: -

\ $ s = 1000 (-50 \ pm \ sqrt {2499} \ $) = -99,990 y -0.01 por lo que no puedes ver el polo superior en tu gráfica, pero de lo contrario diría que obtengo lo mismo resultado.

Para fundamentar un poco más la teoría, esta imagen puede ser útil: -

También es digno de mencionar que cuando ambos polos se encuentran en el eje real (es decir, la situación de exceso de amortiguación), las posiciones de los polos son: -

\ $ = \ omega_n (- \ zeta + \ sqrt {\ zeta ^ 2-1}) \ $ y \ $ = \ omega_n (- \ zeta - \ sqrt {\ zeta ^ 2-1}) \ $

Y, si hiciera los cálculos, encontraría que un polo es el conjugado normal del otro con respecto a \ $ \ omega_n \ $, es decir, si uno es diez veces \ $ \ omega_n \ $ entonces el otro es uno- décimo de \ $ \ omega_n \ $.

En otras palabras \ $ = \ omega_n (- \ zeta + \ sqrt {\ zeta ^ 2-1}) \ $ es el inverso de \ $ = \ omega_n (- \ zeta - \ sqrt {\ zeta ^ 2 -1}) \ $.

El circuito que ha dibujado, la red \ $ RLC \ $, no presenta ceros, solo polos. En caso de que agregue una pequeña resistencia en serie con el capacitor, entonces agregaría un cero. La ecuación que has derivado muestra una forma polinomial de segundo orden en el denominador: \ $ D (s) = 1 + b_1s + b_2s ^ 2 \ $. Puede ser ventajosamente factorizado en una forma canónica tal como \ $ D (s) = 1 + \ frac {s} {Q \ omega_0} + (\ frac {s} {\ omega_0}) ^ 2 \ $ en el que \ $ Q = \ frac {\ sqrt {b_2}} {b_1} \ $ y \ $ \ omega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {b_2}} \ $. Mediante la identificación rápida con su expresión, puede determinar estos valores fácilmente. Ahora, si intenta determinar las raíces de \ $ D (s) = 0 \ $, o los polos de la función de transferencia, terminará con un par de raíces definidas por \ $ s_ {p1}, s_ {p2} = \ frac {\ omega_0} {2Q} (\ pm \ sqrt {1-4Q ^ 2} -1) \ $.

Desde esta expresión, puedes ver que, dependiendo del valor de \ $ Q \ $, la expresión debajo de la raíz cuadrada puede ser positiva o negativa. Si es positivo, las raíces son reales (no hay una parte imaginaria) y la respuesta transitoria es no oscilatoria. Este es el caso de un \ $ Q \ le0.5 \ $. Para una muy baja \ $ Q \ lt \ lt1 \ $, podemos aplicar la denominada aproximación de baja - \ $ Q \ $ en la que considera que los polos están bien separados. Hay uno en el dominio de baja frecuencia (la raíz en su diagrama está cerca del eje vertical), mientras que el segundo está en frecuencias más altas. Por lo tanto, escribe \ $ D (s) \ approx (1+ \ frac {s} {\ omega_p1}) (1+ \ frac {s} {\ omega_p2}) \ $ en el que \ $ \ omega_ {p1} = Q \ omega_0 \ $ y \ $ \ omega_ {p2} = \ frac {\ omega_0} {Q} \ $. Simplemente significa que para un alto valor de la resistencia en serie, el circuito puede ser reemplazado por dos (aislados) en cascada \ $ RC \ $ en red sintonizados en \ $ \ omega_ {p1} \ $ y \ $ \ omega_ {p2} \ PS Si conduce su circuito con un voltaje de paso, el voltaje de salida es muy lento sin sobrepasar.

Cuando \ $ Q = 0.5 \ $, las raíces siguen siendo reales pero coincidentes. La respuesta sigue siendo no oscilatoria y \ $ D (s) \ approx (1+ \ frac {s} {\ omega_0}) ^ 2 \ $. Si manejas tu circuito con un voltaje de paso, el voltaje de salida aumenta rápidamente sin sobrepasar.

Ahora, si reduce la resistencia de la serie aún más, \ $ Q \ $ excede de 0.5 y las raíces involucran una notación imaginaria: se convierten en conjugados imaginarios como una raíz ubicada en -1 + 2j y la otra en -1-2j, por ejemplo. Tenga en cuenta que la parte real en estas expresiones es negativa, lo que implica que en su diagrama de plano \ $ s \ $ -, las pequeñas "cruces" están en el semiplano izquierdo (LHP). Los llamamos polos LHP o LHPP. Las partes reales negativas modelan las pérdidas en su circuito, la disipación de potencia que amortiguará las oscilaciones y forzará la respuesta del dominio del tiempo a converger a un valor de estado estable a medida que \ $ t \ $ se aproxima al infinito. Si maneja su circuito con un voltaje de paso, el voltaje de salida aumenta rápidamente y se sobrepasa.

A medida que estas pérdidas se vuelven cada vez menos (el circuito gana en eficiencia), \ $ Q \ $ aumenta - más pronunciado exceso en \ $ v_ {out} (t) \ $ - hasta que los polos se vuelvan puros imaginarios: lo real Las piezas se han ido y los polos se encuentran en el eje vertical. Si excitas el circuito con un pulso transitorio, la respuesta sería oscilatoria con oscilaciones sostenidas cuando la excitación haya desaparecido.

Un polo en el origen es una historia diferente. Tener un polo en el origen simplemente significa que su función de transferencia hospeda una división por \ $ s \ $: \ $ H (s) = \ frac {1} {s (1+ \ frac {s} {\ omega_p})} \ $ presenta un polo LHP y un polo en el origen porque \ $ D (s) = 0 \ $ para \ $ s = 0 \ $. En lugar de dividir por \ $ s ^ 2 \ $, tiene dos polos en el origen, etc. Tiene un polo en el origen en los sistemas que cuentan con un integrador, por ejemplo. El polo en el origen implica una ganancia que se aproxima al infinito en dc (cuando \ $ s = 0 \ $), en realidad la ganancia de bucle abierto del amplificador operacional, lo que garantiza un error estático muy bajo en la variable que controla.