¿Cómo funciona la función dentro de la función rectangular?

\ $ \ operatorname {rect} (\ cdot) \ $ es una función que tiene valor \ $ 1 \ $ si lo que aparezca dentro de esos paréntesis (se llama el argumento de la función rect y Utilicé \ $ \ cdot \ $ en lugar de alguna variable algebraica como marcador de posición) tiene valor entre \ $ - \ frac 12 \ $ y \ $ + \ frac 12 \ $. De lo contrario, cuando el argumento sea estrictamente menor que \ $ - \ frac 12 \ $ (o estrictamente mayor que \ $ + \ frac 12 \ $), \ $ \ operatorname {rect} (\ cdot) \ $ tiene valor \ $ 0 \ $. En tu caso, debes preguntar

  

Para qué valores de \ $ \ omega \ $ does \ $ \ displaystyle \ frac {\ omega - 10} {2 \ pi} \ $ es igual a un número entre \ $ - \ frac 12 \ $ y \ $ \ frac 12 \ $?

y un pequeño pensamiento mostrará, espero, que \ $ \ omega \ $ debe estar en el intervalo de \ $ 10- \ pi \ $ a \ $ 10 + \ pi \ $. Si tiene problemas para obtener esto, intente y encuentre el valor de \ $ \ omega \ $ que hace que \ $ \ displaystyle \ frac {\ omega - 10} {2 \ pi} \ $ igual exactamente \ $ - \ frac 12 \ $ y luego enjabonar, enjuagar y repetir para exactamente \ $ \ frac 12 \ $.

En general, tenemos $$ F ^ {- 1} [rect (\ frac {\ omega} {A})] = \ frac {A} {2 \ pi} sinc (\ frac {At} {2}) $$

Aplicar la propiedad de cambio de frecuencia de las transformadas de Fourier $$ f (t) e ^ {j \ omega_0t} \ Longleftrightarrow F (\ omega- \ omega_0) $$

obtenemos

$$ F ^ {- 1} [rect (\ frac {\ omega- \ omega_0} {A})] = e ^ {j \ omega_0t} \ frac {A} {2 \ pi} sinc (\ frac {At} {2 }) $$

En su caso $$ A = 2 \ pi, \ omega_0 = 10 $$