Resonancia a frecuencias diferentes de la frecuencia natural

Puede pensar en la resonancia como un filtro de paso de banda con un ancho de banda muy estrecho.

Si la frecuencia está ligeramente fuera de la frecuencia central de su filtro de paso de banda, seguirá recibiendo una señal de salida, pero más baja que si ambas coincidieran.

Un sistema resonante altamente amortiguado (piense en el resorte / suspensión / rueda de un automóvil) tendría un ancho de banda muy alto (y un pico bajo) mientras que un péndulo (casi sin amortiguar) tiene un pico muy pronunciado y un ancho de banda bajo. Q-factor

Por definición, si "sumas" dos señales juntas, la señal resultante es la suma de las dos. Así que esto es simplemente cierto por definición, independientemente de las señales o la resonancia.

Si "ingresa" una señal en un circuito y luego mide la respuesta (en algún lugar del circuito). La respuesta va a variar según la señal y el circuito. Y este sería uno de los contextos donde la resonancia tiene sentido.

Por ejemplo, cuando ingresa una señal de onda sinusoidal de frecuencia coincidente en un circuito con resonancia. La respuesta puede crecer con el tiempo sin ningún adicional a la señal. En teoría, para un sistema con cero amortiguación, la respuesta puede crecer indefinidamente.

Un ejemplo de sistema mecánico sería un columpio y un niño. La niña balancea sus piernas medio metro más o menos. Esa es la señal de entrada. Si el niño sabe cómo balancear y hace coincidir correctamente la frecuencia de resonancia, puede hacer que el columpio oscile hacia adelante y hacia atrás en una distancia relativamente grande, digamos 5 metros. Esa es la respuesta. La amplitud del swing aumenta gradualmente, con cada swing el niño agrega un poco más de energía al sistema.

Una onda sinusoidal tiene tres propiedades, que la describen:

\ $ f (t) = A * \ sin (\ omega * t + \ phi) \ $

• Amplitud \ $ A \ $
• Frecuencia \ $ \ omega \ $
• Fase \ $ \ phi \ $

Como tal, no hay una frecuencia de resonancia como una propiedad inherente de una onda sinusoidal. Si agrega dos ondas sinusoidales, hay ciertas reglas que deben respetarse. Solo puede agregar la amplitud si la frecuencia y la fase son las mismas. Si difieren, obtendrás otra forma de onda:

Estaimagenmuestraloquesucedesiagrega\$\sin(x)\$(rojo)a\$\sin(2*x)\$(verde).

Unafrecuenciaderesonanciaesunapropiedaddeunsistema.Esdecir:

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

Tiene una entrada \ $ x (t) \ $ y su sistema responderá con \ $ y (t) \ $. La función de transferencia describe cómo reaccionará el sistema. En esta función de transferencia puede ocurrir una frecuencia de resonancia.

Veamos qué sucede con un sistema que conocemos bastante bien, el humilde circuito RLC:

^{simular este circuito}

En este caso, la fuente de voltaje V1 actúa como la entrada del sistema LTI \ $ x (t) \ $. Y con el medidor de corriente AM1, observamos la salida \ $ y (t) \ $. Si simulamos este circuito en el dominio de la frecuencia (es decir, variamos la frecuencia de nuestro voltaje V1, la amplitud se mantiene igual) como resultado:

He variado el valor de la resistencia: 1k \ $ \ Omega \ $ (teal), 10 \ $ \ Omega \ $ (rojo), 1 \ $ \ Omega \ $ (azul) y 0.01 \ $ \ Omega \ $ (verde).

Como se puede ver, para diferentes valores de R, obtenemos diferentes respuestas. Con valores más altos de R, no sucede nada realmente, la oscilación se amortigua muy fuerte. Para una R muy baja (muy baja amortiguación) como en la curva verde, en realidad tienes un pico de resonancia bastante pronunciado en tu respuesta.

Para un circuito RLC, conocemos la solución para calcular la frecuencia de resonancia:

$$ \ omega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {LC}} \ rightarrow f_0 = \ frac {1} {2 \ pi \ sqrt {LC}} $$

Lo que resulta ser 159kHz para estos parámetros. La resistencia no desempeña ningún papel en el cálculo de la frecuencia de resonancia, pero influye si realmente se puede medir. Para el caso de la resistencia 1k \ $ \ Omega \ $, realmente no notaría que hay una resonancia en ese sistema. Pero con solo 0.01 \ $ \ Omega \ $ la resonancia es tan pronunciada, que podría dañar sus componentes si no la ha considerado (hay algunos ejemplos famosos de catástrofes de resonancia, el puente de Tacoma para nombrar uno).

Para tener una visión más matemática de este problema, es más fácil de entender si echamos un vistazo al espacio de frecuencia. En el dominio laplace obtenemos para el actual:

$$ I (s) = \ frac {s} {L \ left (s ^ 2 + {R \ over L} s + \ frac {1} {LC} \ right)} V (s) $$

Lo que nos interesa para la resonancia es el estado estacionario sinusoidal, o más exactamente la amplitud del estado estacionario sinusoidal. El estado estacionario se representa para \ $ s = j \ omega \ $ y, por lo tanto, terminamos con:

$$ | I (s = j \ omega) | = \ frac {1} {\ sqrt {R ^ 2 + \ left (\ omega L - \ frac {1} {\ omega C} \ right) ^ 2}} | V (j \ omega) | $$

Lo que obtienes es una multiplicación, no una adición de la señal de entrada. Dentro del sistema ocurre una multiplicación compleja dependiente de la frecuencia de su señal de entrada. Lo que resultará en una amplitud modificada y una fase modificada de la señal de entrada. Si te acercas a la frecuencia de resonancia, tu amplitud alcanzará su máximo.

Esto sucede cuando \ $ \ left (\ omega L - \ frac {1} {\ omega C} \ right) ^ 2 \ $ es igual a cero. Si resuelves esa ecuación, obtienes el conocido \ $ \ omega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {LC}} \ $.

Entonces, para decirlo claramente: la resonancia no es sumar ondas sinusoidales, es una multiplicación compleja de la señal de entrada.

El término "resonancia" requiere un sistema (mecánico, eléctrico) que sea capaz de "resonar" a una cierta frecuencia. Esto depende de la estructura interna del sistema, y su capacidad para resonar (y la frecuencia correspondiente) está determinada por las capacidades internas de almacenamiento de energía (mecánica o eléctrica). En sistemas eléctricos, los condensadores y los inductores tienen tales capacidades; En los sistemas mecánicos (péndulo) tenemos dos formas de energía diferentes (potencial y cinética).

Si un sistema de este tipo se excita con una señal externa que es idéntica o muy cercana a la frecuencia con la que el sistema podría resonar, tenemos el caso de "resonancia". Como resultado, la amplitud de la oscilación correspondiente podría ser mayor que la señal externa.

Pregunta a Sunny : ¿O estás preguntando por el principio de las oscilaciones autosostenidas?

Creo, encontré una respuesta. Cada sistema de vibración puede describirse mediante una ecuación diferencial no homogénea de segundo orden. Al preguntarse a qué frecuencia esta ecuación aumentará "en amplitud" con el tiempo y resolviendo la ecuación, obtendrá la frecuencia de resonancia. Ejemplo (encontrado en internet): y '' (t) + 4y = 3cos (2t) es nuestro sistema de vibración, la solución es y = (3/4) t * sin (2t), lo que nos muestra que la amplitud está aumentando en el tiempo hasta el infinito - > resonancia. Una vez que su sistema se describe en la ecuación diferencial de segundo orden, puede encontrar la frecuencia de resonancia, por lo tanto, la frecuencia (la onda) que necesita para alcanzar la resonancia en este sistema vibratorio.