Usar un número complejo para resolver circuitos lineales

  

¿Por qué la parte imaginaria agregada a la entrada no afecta la parte real del voltaje de salida?

Respuesta corta: debido a la linealidad.

Un sistema puede describirse como un operador \ $ \ operatorname {L} \ $, que toma una función y genera la función transformada: $$ y (t) = \ operatorname {L} (x (t)) $$

Un sistema es lineal si para cualquier entrada \ $ x (t) \ $ y cualquier número complejo \ $ \ alpha \ $ $$ \ operatorname {L} (\ alpha x (t)) = \ alpha \ operatorname {L} (x (t)) $$ y para cualquiera de las dos entradas \ $ x_1 (t) \ $, \ $ x_2 (t) \ $ $$ \ operatorname {L} (x_1 (t) + x_2 (t)) = \ operatorname {L} (x_1 (t)) + \ operatorname {L} (x_2 (t)) $$

Supongamos que alimenta un sistema lineal con la entrada $$ z (t) = \ cos (\ omega t + \ varphi) + j \ sin (\ omega t + \ varphi) $$

Luego, usando las propiedades de un operador lineal $$ \ operatorname {L} (\ cos (\ omega t + \ varphi) + j \ sin (\ omega t + \ varphi)) = \ operatorname {L} (\ cos (\ omega t + \ varphi)) + j \ operatorname {L} (\ sin (\ omega t + \ varphi)) $$

Por lo tanto, podemos "complejizar" una señal real, calcular la solución compleja y tomar la parte real. La linealidad garantiza que podemos hacerlo.

Puede ser útil mirar un contraejemplo simple. Considere un sistema no lineal que genere el cuadrado de su entrada. Si alimentamos dicho sistema con \ $ \ cos (t) \ $, entonces la salida será \ $ \ cos ^ 2 (t) \ $.

Intentemos utilizar la técnica de "comlexificación" y representemos \ $ \ cos (t) \ $ as \ $ e ^ {jt} \ $. Entonces la salida del sistema será \ $ (e ^ {jt}) ^ 2 = e ^ {j \ cdot 2t} \ $. Pero \ $ \ operatorname {Re} (e ^ {j \ cdot 2t}) = \ cos (2t) \ $, que es un resultado claramente incorrecto. El resultado es incorrecto porque el sistema en cuestión no es lineal.

En general, una forma de onda sinusoidal se puede representar como un número complejo utilizando la identidad de Euler y el tiempo de congelación en \ $ \ small t = 0 \ $.

Considere una sinusoide con amplitud, \ $ \ small V_m \ $ un ángulo de fase, \ $ \ small \ phi \ $, que puede escribirse: $$ V = V_m \: e ^ {j (\ omega t + \ phi)} = V_m [cos (\ omega t + \ phi) + jsin (\ omega t + \ phi)] $$

Esto representa un vector de magnitud, \ $ \ small V_m \ $, que gira a medida que aumenta el tiempo de \ $ \ small t = 0 \ $. La parte real de este número complejo es la componente horizontal del vector, y la parte imaginaria es la componente vertical del vector

Los vectores giratorios no son cosas muy convenientes para dibujar o hacer cálculos matemáticos, por lo que en cambio los congelamos en \ $ \ small t = 0 \ $ y los llamamos \ $ phasors \ $. Así, en forma de fasor, la ecuación anterior se convierte en:

$$ V = V_m [cos (\ phi) + jsin (\ phi)] = V_me ^ {j \ phi} $$

Por ejemplo, una señal de voltaje sinusoidal de amplitud 3V con ángulo de fase, \ $ \ small \ phi = 0 \ $, se escribiría \ $ \ small V = 3 + j0 \ frac {} {} = 3 \ $ ; y una señal de corriente sinusoidal de amplitud 5A y ángulo de fase, \ $ \ small \ phi = -30 ^ o \ $, se representaría como \ $ \ small I = 4.33-j2.5 \ $,

La ventaja de la notación compleja es que podemos hacer análisis de circuitos si también expresamos resistencias y reactancias en sus formas complejas: $$ R \ rightarrow R + j0 = R $$ $$ L \ rightarrow 0 + j \ omega L = j \ omega L $$ $$ C \ rightarrow 0+ \ frac {1} {j \ omega C} = \ frac {1} {j \ omega C} = \ frac {-j} {\ omega C} $$

La representación de números complejos es solo una forma matemáticamente "fácil" de realizar un seguimiento de la fase de una cantidad (es decir, voltaje o corriente) y cómo interactúa con las impedancias que cambian su fase.

Sin embargo, en su ejemplo, si la entrada no ve impedancias complejas (solo impedancias reales, también conocidas como resistencias), la fase no cambiará de entrada a salida.

Pero creo que puede haber confundido el propósito de la parte real en comparación con la magnitud de la cantidad.