Estoy buscando una explicación intuitiva ( no una prueba ) de por qué las ecuaciones producidas por el análisis nodal y el análisis de malla son siempre linealmente independientes y siempre tienen una solución única, si el circuito tiene una solución única.
Una vez más, tenga en cuenta que no estoy buscando una prueba, sino una explicación intuitiva.
No es cierto que siempre terminarás con las ecuaciones \ $ n-1 \ $ independientes .
Es posible dibujar circuitos ideales donde, por ejemplo, un voltaje de nodo es indeterminado.
Un ejemplo trivial:
KCL en el nodo 1 es
$$ 1A = 1A $$
Por lo tanto, \ $ V_1 \ $ es indeterminado; \ $ V_1 \ $ puede ser cualquier voltaje.
Entonces, si hay una solución única para \ $ n-1 \ $ voltajes de nodo (el voltaje restante del nodo es 0V por definición), entonces se deduce que hay \ $ n-1 \ $ ecuaciones independientes .
Sin embargo, si hay una o más fuentes de voltaje flotante, el análisis de voltaje de nodo ordinario con KCL no le dará el conjunto completo de ecuaciones. En ese caso, combina nodos en supernodos y aumenta el conjunto reducido de ecuaciones KCL con ecuaciones KVL.
No importa cuántos nodos tenga, al realizar el análisis nodal, describe las corrientes que entran y salen de cada nodo. A medida que recorre cada nodo, terminará con una ecuación linealmente independiente que describe toda la corriente que entra y sale de ella. En el análisis nodal, todo lo que entra en un nodo debe salir de él.
Cuando finalmente llegue al último nodo en su análisis, debería ser obvio que ninguna de las entradas o salidas de ese nodo pueden ser ajustadas a su gusto. Cada entrada (o salida) a este nodo ya tiene algún otro nodo que determina la cantidad de flujo de corriente dentro o fuera de él. El último nodo no puede ser linealmente independiente porque es dependiente de todos los otros nodos.
Se puede pensar en esto como tuberías de agua donde las fuentes de voltaje son bombas y las resistencias son partes estrechas del circuito. En un circuito (es decir, bucle cerrado), los electrones nunca pueden escapar del sistema, siempre entran en bucles. Lo mismo ocurriría en una red de tubos con bombas que empujan el agua alrededor de ellos con constricciones. En cualquier articulación donde se conecten 3 o más tubos, lo que fluye dentro de la articulación será igual a lo que fluye hacia afuera de la articulación. Si está contabilizando / midiendo cuánto entra y sale de cada articulación, cuando llegue a la última, se dará cuenta de que no necesita medir la cantidad que entra y sale de esa articulación o nodo porque Ya lo he explicado porque asume que sus tuberías no tienen fugas y no está agregando agua a la red de tuberías.
Eso es básicamente todo lo que dice la declaración. Dado que es un sistema de circuito cerrado, no puede agregar o eliminar electrones, por lo que el último nodo no puede ser linealmente independiente. Depende de todos los demás nodos.
¿Por qué las ecuaciones de análisis nodal son linealmente independientes?
Porque cada ecuación involucra la corriente en las ramas conectadas a un nodo en particular. Dado que cada nodo está conectado a un conjunto diferente de ramas, las ecuaciones resultantes no serán combinaciones lineales entre sí.
¿Por qué las ecuaciones de análisis nodal tienen una solución única?
Porque las n ecuaciones lineales independientes en n desconocidos tienen una única solución única.
Los sistemas lineales pueden tener infinitas soluciones (pero solo si el número de ecuaciones independientes es menor que el número de incógnitas, o no hay soluciones (pero solo si el número de ecuaciones independientes es mayor que el número de incógnitas).
¿Qué pasa con el análisis de malla?
El análisis de malla es solo el doble del análisis nodal.
Cada ecuación incluye el actual potencial en las ramas conectadas a alrededor de un determinado nodo malla . Dado que cada node mesh está conectado a un conjunto diferente de ramas, las ecuaciones resultantes no serán combinaciones lineales entre sí.
Yo diría que solo dibuje un circuito simple con 2 nodos. Solo 2 plazas. Luego, agregue más y más, podría obtenerlo "intuitivamente" de esta manera.
Es la primera vez que escucho sobre esta "regla" y es lo que hice para resolverlo. No tengo una respuesta real aunque.
En un ejemplo simple, el análisis nodal "encapsula" 2 nodos por ecuación y uno de estos nodos tiene que ser único y el otro está en tierra. Por lo tanto, hay N ecuaciones independientes donde N es el número de nodos que excluyen tierra.
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