¿Cuál es la razón detrás de la representación de la función de transferencia válida solo para el sistema LTI?

La razón por la que las funciones de transferencia funcionan tan bien para los sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) (y no para los sistemas no lineales) es que son la transformada de Laplace (o, en tiempo discreto) la transformada Z de la respuesta de impulso del sistema, que caracteriza completamente el comportamiento de dichos sistemas. Es decir, la respuesta de impulso o, de manera equivalente, la función de transferencia es todo lo que necesita saber para calcular la respuesta del sistema a cualquier señal de entrada. La razón de esto es que cualquier señal de entrada puede escribirse como una integral (o una suma en tiempo discreto) de impulsos delta escalados y desplazados, y debido a la linealidad y la invariancia de tiempo, la respuesta a esta integral / suma es igual a la integral / suma de respuestas de impulso escaladas y desplazadas:

$$ x (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ delta (t- \ tau) d \ tau \ quad \ Longrightarrow \ quad y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau \ tag {1} $$

donde \ $ x (t) \ $ es la señal de entrada, \ $ y (t) \ $ es la respuesta del sistema, y \ $ h (t) \ $ es la respuesta al impulso. La ecuación (1) es la integral de convolución, que describe completamente el comportamiento del sistema. En el dominio de transformación (es decir, transformada de Laplace, transformada de Fourier o transformada Z), la convolución se convierte en multiplicación.

Para sistemas no lineales, por supuesto, puede calcular o medir la respuesta del sistema a un impulso, pero esta función no le dice nada sobre la respuesta del sistema a otras señales de entrada, o incluso a un impulso escalado. Es por esto que la respuesta al impulso y su transformación no tienen ningún significado para los sistemas no lineales.

Una función de transferencia es una especie de transformada de la unidad de respuesta al impulso de un sistema. Multiplicar por una función de transferencia en el dominio de transformación es lo mismo que convolving en el dominio de tiempo.

Por definición, la convolución no se puede usar para predecir la salida de un sistema no lineal. Un sistema no lineal no tiene propiedades de aditividad y escalabilidad, por lo que no puede dividir la entrada en partes, calcular la salida de cada pieza y sumar las salidas (es decir, la convolución).

Esto se debe a que la principal preocupación es la estabilidad del sistema durante el tiempo, es decir, si la entrada no cambia con el tiempo, lo mismo debería reflejarse en la salida, por lo tanto, el sistema debería ser invariante en el tiempo.

En segundo lugar, el sistema debe ser lineal porque, en el análisis teórico, el sistema no debe alterar la frecuencia / B de la señal.

Aquí está mi comprensión intuitiva .

Una función de transferencia le dice cómo se ve la salida de su sistema para muchas entradas específicas. Por ejemplo, si prueba las entradas \ $ \ sin (t) \ $ y \ $ \ sin (2t) \ $, tal vez sus salidas \ $ y (t) \ $ sean $$ y (\ sin (t)) = 10 \ sin (t) $$ y $$ y (\ sin (2t)) = 2 \ sin (2t) $$ (Este ejemplo es un filtro de paso bajo, amplifica más las frecuencias más bajas).

Ahora, esto es particularmente útil en sistemas LTI por dos razones:

1. Si su entrada se compone de un montón de estas pequeñas partes, entonces puede usar la función de transferencia para encontrar la salida combinada. Por ejemplo, si su entrada fue \ $ \ sin (t) + \ sin (2t) \ $, entonces su salida sería $$ y (\ sin (t) + \ sin (2t)) = y (\ sin (t)) + y (\ sin (2t)) = 10 \ sin (t) + 2 \ sin (2t) $$ por lo que la función de transferencia nos dice cómo reacciona el sistema a todos los tipos de entradas. Esto no es cierto para sistemas no lineales, por lo que la función de transferencia no es útil allí.
2. Si su entrada se retrasa (es decir, \ $ \ sin (t-1) \ $), entonces la salida también se retrasa: $$ y (\ sin (t - 1)) = 10 \ sin (t-1) $$ por lo tanto, nuestra función de transferencia es válida para entradas desplazadas en el tiempo. Nuevamente, para los sistemas que varían en función del tiempo, esto no es cierto, por lo que si su entrada tiene cambios de fase, entonces la función de transferencia es inútil.

Para resumir: los sistemas LTI tienen buenas propiedades que nos permiten usar una función de transferencia de aspecto simple para tratar con entradas no simples. Cuando elimina la linealidad y la invariancia de tiempo, la función de transferencia no le brinda suficiente información para ser útil.