Realmente tiene dos problemas: generar un intervalo de tiempo y conducir una carga inductiva.
Para la sincronización, podría usar un circuito analógico como un temporizador 555, o podría usar un microcontrolador que ejecute un programa simple. Cualquiera de los dos puede usar una resistencia variable para establecer el valor: el 555 lo usa para controlar la constante de tiempo de carga de un capacitor, el microcontrolador puede leerlo a través de un ADC o de manera similar en una medición de constante de tiempo de capacitor si el micro no tiene un ADC. El circuito analógico será más fácil de documentar y comprender, y se puede desarrollar con menos herramientas, mientras que el microcontrolador será más versátil para las variaciones en la tarea y potencialmente más preciso si se utiliza un cristal o resonador como referencia del reloj.
La forma común de impulsar la bobina es probablemente con un transistor NPN de propósito general en el lado de tierra del circuito de suministro: el emisor a tierra, el colector a la bobina y una resistencia que alimenta la base desde el circuito de distribución. Sería una buena idea colocar un diodo de conmutación rápida "hacia atrás" a través de la bobina para manejar la patada inductiva que se produce cuando se apaga. No menciona las especificaciones del electroimán, por lo que es difícil recomendar un transistor específico.