Lo que quieres se llama un "relé" . Lo ideal es que quieras uno que funcione a partir de 10 VAC. Eso no es un voltaje de bobina común, pero 12 V y 6 V son. Podría usar un relé de 6 VCA con una resistencia en serie, o rectificar en onda completa los 10 VCA para que se acerque lo suficiente a 12 VCC en el capacitor después de los diodos.
De cualquier manera, el relé es básicamente un interruptor mecánico operado eléctricamente. Como mínimo, probablemente encontrará un relé SPDT (unipolar de doble tiro). Eso le da la opción de usarlo como un interruptor que normalmente está abierto, excepto cuando se presiona el botón, o normalmente se cierra excepto cuando se presiona el botón.
Aquí hay un esquema de lo que estoy hablando:
Tenga en cuenta el condensador después del puente de onda completa. Esto es necesario para mantener el voltaje rectificado promedio lo suficientemente alto como para activar de forma confiable el relé. El relé particular que muestro en este ejemplo dibuja 27 mA a 12 V. Los picos de la forma de onda de 10 VCA serán de 14.1 V. El puente de onda completo resta dos gotas de diodo a aproximadamente 1,4 V, dejando 12,7 V de pico. Eso será lo que la tapa se cargue hasta dos veces por ciclo de línea eléctrica. Para un promedio de 12 V, el voltaje en la tapa puede bajar a 11.3 V antes del próximo pico, para una caída total de 1.4 V. No dijiste cuál es la frecuencia de tu línea de alimentación, por lo que asumí 50 Hz. Eso significa que la tapa se recargará cada 10 ms. Esto nos da lo suficiente para calcular el valor del límite objetivo:
C = (27 mA) (10 ms) / (1.4 V) = 193 µF
Por lo tanto, el valor común de 200 µF funcionará bien.