Función de transferencia de filtro RC y ganancia

La función de transferencia no es \ $ H (\ omega) \ $, es \ $ H (j \ omega) \ $ (tenga en cuenta que \ $ j \ $, lo que la hace compleja):

$$ H (j \ omega) = \ frac {1} {1 + j \ omega RC} $$

Esto es importante porque la función de transferencia captura la fase además de la amplitud.

La amplitud es

$$ | H (j \ omega) | = \ frac {1} {\ sqrt {1 + (\ omega RC) ^ 2}} $$

por la definición de magnitud compleja. Esta es la ganancia que se mide de entrada a salida y puede ser todo lo que le importa, especialmente para un sistema de primer orden. Sin embargo, la fase $$ \ ángulo H (j \ omega) = - \ arctan (\ omega RC) $$ puede ser bastante importante (por ejemplo, para garantizar la estabilidad), especialmente para las funciones de transferencia de orden superior.

El uso principal y directo de la función de transferencia es capturar tanto la ganancia como la fase en una expresión, pero también se puede utilizar para el análisis del dominio del tiempo, ya que la función de transferencia es la transformada de Laplace de la respuesta al impulso. También es útil para caracterizar un sistema de varias etapas, ya que la función de transferencia \ $ H (j \ omega) \ $ de un sistema que consiste en una etapa \ $ H_1 (j \ omega) \ $ seguida de \ $ H_2 (j \ omega ) \ $ es simplemente \ $ H (j \ omega) = H_1 (j \ omega) H_2 (j \ omega) \ $ mientras que en el dominio de tiempo necesita convolucionar las respuestas de impulso \ $ h_1 (t) \ $ y \ $ h_2 (t) \ $ para encontrar la respuesta general al impulso del sistema de \ $ h (t) \ $.

Si hubiera escrito (o hubiera tenido conocimiento para escribir) las dependencias de \ $ V_ {out} \ $ y \ $ V_ {in} \ $ voltajes en su expresión, podría haber visto la razón al escribir su pregunta .

La función de transferencia que escribió está en el dominio de la frecuencia, por lo tanto, los voltajes \ $ V_ {out} \ $ y \ $ V_ {in} \ $ dependen de la variable \ $ w \ $ (frecuencia angular).

$$ {V_ {out} (jw) \ over V_ {in} (jw)} = H (j \ omega) = {1 \ over 1 + j \ omega RC} $$

Sin embargo, sus observaciones están en el dominio de tiempo, por lo que dependen de la variable \ $ t \ $ (tiempo).

$$ {V_ {fuera, promedio} (t) \ sobre V_ {adentro, promedio} (t)} = {V_ {out, peak} (t) \ over V_ {in, peak} (t)} = {V_ {out, RMS} (t) \ over V_ {in, RMS} (t)} = {V_ {salida, sobre} (t) \ sobre V_ {entrada, sobre} (t)} = | H (j \ omega) | = \ left | {1 \ over 1 + j \ omega RC} \ right | = {1 \ sobre \ sqrt {1 + (\ omega RC) ^ 2}} $$

Tenga en cuenta que la proporción de valores instantáneos de \ $ V_ {out} (t) \ $ y \ $ V_ {in} (t) \ $ no es necesariamente igual a \ $ | H (j \ omega) | \ $ debido a cualquier posible diferencia de fase entre la entrada y la salida.

  

¿Por qué la salida real es igual al módulo de la transferencia?   función,

Recuerde que, al realizar un análisis de CA, uno está trabajando con voltajes phasor y corrientes.

Un fasor tiene una fase de magnitud y pero no dependencia del tiempo. Realizamos un seguimiento de la amplitud y fase de una función de tiempo sinusoidal con la magnitud y fase del fasor asociado.

Cuando traza 'el' voltaje de salida, en realidad está trazando la magnitud del voltaje de salida fasor .

Para concretar, veamos la función de transferencia que tiene:

$$ \ frac {V_ {out}} {V_ {in}} = \ frac {1} {1 + j \ omega RC} $$

Esto es claramente una función compleja de la frecuencia. Escribamos esta función en forma polar (magnitud y fase):

$$ \ frac {V_ {out}} {V_ {in}} = \ left | \ frac {V_ {out}} {V_ {in}} \ right | e ^ {j \ phi} = \ frac {1} {\ sqrt {1 + (\ omega RC) ^ 2}} e ^ {j \ phi} $$

donde

$$ \ tan \ phi = - \ omega RC $$

Ahora observe que la magnitud de la función de transferencia coincide con su salida de simulación.

Entonces, recuerde, cuando en el análisis de CA, un gráfico del voltaje o la corriente (en función de la frecuencia) es un gráfico de la magnitud del fasor del voltaje o la corriente. También se puede trazar la fase como se muestra a continuación:

Además,siaúnnolohahecho,echeunvistazoa gráfico de Bode .