¿Es seguro considerar que la frecuencia de resonancia de un circuito RLC de segundo orden es siempre igual a 1 / sqrt (LC) o la función de transferencia debe calcularse?
Cuando hay tres componentes activos, por ejemplo, para el caso de la red RLC T-puenteada, como se muestra en la figura, ¿la frecuencia de resonancia sigue siendo 1 / sqrt (LC)? Si las capacitancias son diferentes, ¿eso significa que hay dos frecuencias de resonancia?
KCL: (\ $ v_o \ $ sobre su salida, \ $ v_i \ $ sobre la fuente de voltaje y \ $ v \ $ sobre el nodo interno:
$$ \ frac {v_o} {R_3} + \ frac {v_o-v} {Z_ {C1}} + \ frac {v_o-v_i} {R_2} = 0 \\ \ frac {v} {Z_L} + \ frac {v-v_i} {Z_ {C2}} + \ frac {v-v_o} {Z_ {C1}} = 0 $$
se puede resolver para deshacerse del nodo interno \ $ v \ $, configurando \ $ Z_ {C i} = \ frac {1} {sC_i} \ $ y \ $ Z_L = sL \ $:
$$ \ frac {v_o} {v_i} = \ frac {L C_1 C_2 R_2 R_3 s ^ 3 + L (C_1 + C_2) R_3 s ^ 2 + R_3} { L C_1 C_2 R_2 R_3 s ^ 3 + L (R_2 + R_3) (C_1 + C_2) s ^ 2 + (R_2 R_3 C_1) s + (R_2 + R_3)} $$ que está en la forma $$ \ frac {s ^ 3 + n_2s ^ 2 + n_0} {s ^ 3 + d_2 s ^ 2 + d_1 s + d_0} $$ con $$ n_2 = \ frac {(C_1 + C_2)} {C_1 C_2 R_2} = \ frac {1} {R_2C _ *} $$ $$ n_0 = \ frac {1} {LC_1 C_2 R_2} $$ $$ d_2 = \ frac {(R_2 + R_3) (C_1 + C_2)} {C_1 C_2 R_2 R_3} = \ frac {1} {R_ \ | C _ *} $$ $$ d_1 = \ frac {1} {LC_2} $$ $$ d_0 = \ frac {R_2 + R_3} {LC_1 C_2 R_2 R_3} = \ frac {1} {LC_1 C_2 R_ \ |} $$ Donde introduje la resistencia paralela y las capacidades en serie. $$ \ frac {1} {R_ \ |} = \ frac {1} {R_2} + \ frac {1} {R_3} \\ \ frac {1} {C_ *} = \ frac {1} {C_1} + \ frac {1} {C_2} $$
Este es un filtro de paso alto de tercer orden, por lo que no se aplica la intuición general de LRC de segundo orden. Tienes que conectar tus valores y mostrarlos en un diagrama de Bode para encontrar problemas de oscilación.
Script Maxima:
sol : solve([v_o/R3+(v_o-v)*s*C1+(v_o-v_i)/R2=0,
v/(s*L)+(v-v_i)*s*C2 + (v-v_o)*s*C1 = 0], [v_i, v_o]) $
trf : ev(v_o / v_i, sol) $
res : rat(trf, s);
Es importante darse cuenta de que la frecuencia de resonancia (es decir, la frecuencia a la que el circuito resuena si la amortiguación es suficientemente baja) de un circuito RLC de segundo orden nunca es igual a \ $ \ frac { 1} {\ sqrt (LC)} \ $ if \ $ R > 0 \ $, es decir, si hay amortiguación. La frecuencia de resonancia (en radianes por segundo) es igual a \ $ \ frac {1} {\ sqrt (LC)} \ $ solo si tiene un circuito LC ideal con amortiguación cero. Tan pronto como haya amortiguación, la frecuencia de resonancia se reduce en comparación con un circuito LC ideal.
Por ejemplo, para un simple circuito RLC de la serie en el caso de las mallas no marcadas, la frecuencia de resonancia viene dada por
$$ \ omega_r = \ sqrt {\ frac {1} {LC} - \ frac {R ^ 2} {4L ^ 2}} \ tag {1} $$
La frecuencia \ $ \ omega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {LC}} \ $ se denomina frecuencia natural , pero en el caso de una amortiguación distinta de cero es solo una cantidad abstracta, que se puede utilizar para expresar la frecuencia de resonancia junto con la constante de amortiguamiento \ $ \ zeta \ $:
$$ \ omega_r = \ omega_0 \ sqrt {1- \ zeta ^ 2} \ tag {2} $$
Tenga en cuenta que incluso para configuraciones muy simples de circuitos RLC diferentes de circuitos RLC en serie o en paralelo, las fórmulas para la frecuencia de resonancia son diferentes de (1) (vea here ).
Con respecto a su ejemplo, tiene un circuito RLC de tercer orden, que es muy diferente de un circuito RLC estándar de segundo orden. Como se mencionó anteriormente, incluso para los circuitos RLC de segundo orden, la frecuencia de resonancia depende de la configuración específica, y nunca es igual a la frecuencia natural \ $ \ frac {1} {\ sqrt {LC}} \ $ siempre que \ $ R \ neq 0 \ $. Así que no puede esperar que la frecuencia de resonancia de su circuito esté dada por una expresión simple que se parezca a la fórmula simple de la frecuencia natural (¡NO a la resonancia!) De un circuito RLC de segundo orden.
Una expresión exacta para la impedancia de entrada se puede derivar de una manera similar a la derivada de la función de transferencia en P.- K. La respuesta de Engstad . Está dada por
$$ Z_i (s) = \ frac {as ^ 3 + bs ^ 2 + cs + d} {es ^ 3 + fs ^ 2 + gs + 1} \ tag {3} $$
con
$$ \ begin {align} a & = L_1C_1C_2R_2R_3 \\\ b & = L_1 (C_1 + C_2) (R_2 + R_3) \\\ c & = C_1R_2R_3 \\\ d & = R_2 + R_3 + R_3 + e & = L_1 C_1 C_2 R_2 \\\ f & = C_1C_2R_2R_3 + L_1 (C_1 + C_2) \\\ g & = C_2R_2 + R_3 (C_1 + C_2) \ end {align} $$
Evaluar (3) para \ $ s = j \ omega \ $ y establecer su parte imaginaria en cero da una expresión para la frecuencia de resonancia. Uso de las constantes anteriores para definir constantes auxiliares
$$ \ begin {align} A & = af-be \\\ B & = de + bg-cf-a \\ C & = c-dg \ end {align} $$
la expresión para la frecuencia de resonancia exacta se puede escribir como
$$ \ omega_r = \ sqrt {- \ frac {B} {2A} + \ sqrt {\ frac {B ^ 2} {4A ^ 2} - \ frac {C} {A}}} \ tag { 4} $$
Para los valores dados de \ $ L_1, C_1, C_2, R_2 \ $ y \ $ R_3 \ $, obtenemos de (4) \ $ \ omega_r = 9.9980 \ cdot 10 ^ 5 \; \ text {rad / s} \ $. Tenga en cuenta que este valor es muy cercano al valor \ $ \ frac {1} {\ sqrt {L_1C_2}} = 10 ^ 6 \; \ text {rad / s} \ $, como se menciona en La respuesta de LvW . Sin embargo, esto solo es cierto en un cierto rango de parámetros alrededor de los valores dados. Incluso si solo el valor de \ $ L_1 \ $ se cambia a \ $ L_1 = 1 \; \ text {mH} \ $ (dejando todos los demás valores sin cambios), la frecuencia de resonancia exacta de acuerdo con (4) es \ $ \ omega_r = 2.70 \ cdot 10 ^ 4 \; \ text {rad / s} \ $, mientras que tenemos \ $ \ frac {1} {\ sqrt {L_1C_2}} = 3.16 \ cdot 10 ^ 4 \; \ text {rad / s} \ $. Si también se cambian otros valores de parámetros, la diferencia entre el valor exacto y la "aproximación" se vuelve arbitrariamente grande. Por lo tanto, en general, tenemos que usar el valor exacto de la frecuencia de resonancia dado por (4), y generalmente no es aplicable una fórmula "simple".
El gráfico a continuación muestra la magnitud de la impedancia de entrada \ $ | Z (j \ omega) | \ $ y la magnitud de la función de transferencia \ $ | H (j \ omega) | \ $ para los valores dados en su pregunta. En la frecuencia de resonancia, la función de transferencia tiene un pico enorme (más alto que el rango de trazado), y la impedancia de entrada se vuelve casi cero. Para \ $ \ omega \ rightarrow \ infty \ $, la impedancia de entrada converge al valor de \ $ R_3 = 100 \, \ Omega \ $, y la función de transferencia converge a \ $ 1 \ $. En DC, la función de transferencia es \ $ H (0) = R_3 / (R_2 + R_3) = \ frac12 \ $, y la impedancia de entrada es \ $ Z (0) = R_2 + R_3 \ $ (rango de trazado externo).
Esta es una revisión completa de mi respuesta. Es posible dar la frecuencia de resonancia exacta sin ningún cálculo. Esto se vuelve obvio después de volver a dibujar el circuito.
Permítanme explicar: la fuente V1 conduce una corriente a través de la combinación en serie C2-L1 y al mismo tiempo (en paralelo) a través de R2-R3. El condensador C1 se coloca entre ambos nodos donde los dos elementos de ambas ramas están conectados. Esto no es más que un circuito de puente clásico con un condensador en la "rama del detector". En el caso de un puente equilibrado no habrá corriente a través de C1.
En este contexto, es importante darse cuenta de que este puente está equilibrado si L1 está en resonancia con C2 (caída de voltaje igual a través de estos elementos) porque tenemos dos resistencias iguales (R2, R3) en la otra rama del puente .
Con otras palabras: en caso de resonancia, el condensador C1 no contribuye en absoluto a la distribución de voltaje-corriente dentro del circuito. Por lo tanto, la frecuencia de resonancia angular es simplemente wo = SQRT (L1 * C2) .
Este resultado fue confirmado con simulación. Se puede mostrar que la frecuencia angular donde se produce la resonancia (resistencia de entrada mínima, máxima de corriente, fase cero entre la tensión y la corriente, pico de tensión entre R2 y R3) no depende de C1 siempre que el puente sea simétrico con R2 = R3 . Está claro que los valores reales R2 = R3 no influyen en el punto de resonancia.
La frecuencia de resonancia que está describiendo es para un circuito LC en paralelo o en serie, pero aquí tiene una red RLC. Considere la frecuencia de resonancia del oscilador Colpitts, por ejemplo, y observe que la derivación no es tan sencilla como la simple aplicación de sqrt (LC).
Utilice las leyes de voltaje y corriente de Kirchhoff para determinar las relaciones entre los diferentes componentes.
VR2 = VC1 + VC2
Vin = VR1 + VR2
Vin = VC2 + VL1
Del mismo modo, la suma de las corrientes en el nodo donde se encuentran C1, C2 y L1 es cero. Para una función de transferencia, debe definir dónde está la salida, dónde está la salida?
La resonancia extrae el máximo o el mínimo de energía, y no hay más energía que pueda extraer de la fuente de voltaje que cortocircuitándola. L1 / C2 será un cortocircuito en este diagrama cuando esté en resonancia, por lo que cualquier otro elemento no tendrá influencia cuando L1 / C2 esté en resonancia. Pero este no es un caso realista, ya que el circuito resonante conectado a la fuente de voltaje solo contiene elementos idealizados con resistencia cero, sin estar completamente amortiguado.
El caso habitual involucrará elementos reales con resistencia finita. En ese caso, la adición de elementos adicionales afectará a las frecuencias de resonancia, y la resonancia no será catastrófica como lo está aquí.
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