¿Por qué los científicos eligieron ir con la onda sinusoidal para representar la corriente alterna y no otras formas de onda como el triángulo y el cuadrado?
¿Qué ventaja ofrece sine sobre otras formas de onda para representar la corriente y el voltaje?
El movimiento circular produce una onda sinusoidal naturalmente: -
Essolounacosamuynaturalyfundamentalquehacer,ytratardeproducirformasdeondaqueseandiferentesesmáscomplicadoollevaaefectossecundariosnodeseados.
El movimiento hacia arriba y hacia abajo (en la naturaleza) produce una onda sinusoidal contra el tiempo: -
Las ondas coseno y sinusoidal (en realidad, sus constituyentes en forma de exponenciales complejas) son funciones propias de sistemas lineales invariantes en el tiempo, que tienen una respuesta del sistema dependiente del tiempo de $$ \ begin {align} f \ bigl (a (t) + b (t), t_0 \ bigr) & = f \ bigl (a (t), t_0 \ bigr) + f \ bigl (b (t) , t_0 \ bigr) & & \ text {linealidad} \\ f \ bigl (a (t + h), t_0 \ bigr) & = f \ bigl (a (t), t_0 + h \ bigr) & & \ text {invarianza de tiempo} \ end {align} $$ Si construye una red a partir de componentes pasivos lineales (resistencias, inductores, condensadores en este StackExchange) y la alimenta con una señal sinoidal continua, cualquier punto de la red emitirá una señal sinoidal continua de fase y magnitud posiblemente diferente.
En general, no se conservará ninguna otra forma de onda, ya que la respuesta será diferente para diferentes frecuencias de entrada, por lo que si descompone alguna entrada en sus componentes sinoidales de frecuencia única, verifique las respuestas individuales de la red a esas, y vuelva a ensamblar la resultante. Señales sinoideas, el resultado generalmente no tendrá las mismas relaciones entre sus componentes sinoidales como originalmente.
Por lo tanto, el análisis de Fourier es bastante importante: las redes pasivas responden directamente a las señales sinoideas, por lo que descomponer todo en sinoides y viceversa es una herramienta importante para analizar los circuitos.
Las cosas oscilan según el seno y el coseno. Mecánica, eléctrica, acústica, lo que sea. Cuelgue una masa en un resorte y rebotará hacia arriba y hacia abajo a su frecuencia de resonancia de acuerdo con la función seno. Un circuito LC se comportará de la misma manera, solo con corrientes y voltajes en lugar de velocidad y fuerza.
Una onda sinusoidal consiste en un componente de frecuencia única, y se pueden crear otras formas de onda al sumar múltiples ondas sinusoidales diferentes. Puede ver los componentes de frecuencia en una señal al mirarlos en un analizador de espectro. Dado que un analizador de espectro barre un filtro estrecho sobre el rango de frecuencia que está viendo, verá un pico en cada frecuencia que contiene la señal. Para una onda sinusoidal, verá 1 pico. Para una onda cuadrada, verás picos a f, 3f, 5f, 7f, etc.
El seno y el coseno son también la proyección de las cosas que giran. Tome un generador de CA, por ejemplo. Un generador de CA hace girar un imán alrededor de una bobina de cable. A medida que el imán gira, el campo que incide sobre la bobina debido al imán variará de acuerdo con el seno del ángulo del eje, generando un voltaje a través de la bobina que también es proporcional a la función seno.
En un sentido más matemático y físico, por qué el seno y el coseno resultan ser los fundamentos de las ondas pueden tener sus raíces en el teorema y el cálculo de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras nos dio esta gema, con senos y cosenos:
$$ \ mathrm {sin} ^ 2 (t) + \ mathrm {cos} ^ 2 (t) = 1, t \ in \ mathbb {R} $$
Esto hizo que los senos y los cosenos se anulen mutuamente en las leyes del cuadrado inverso que se dispersan en todo el mundo de la física.
Y con el cálculo tenemos esto:
$$ \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ mathrm {sin} x = \ mathrm {cos} x $$
$$ \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ mathrm {cos} x = - \ mathrm {sin} x $$
Esto significa que cualquier forma de operación de cálculo preservaría los senos y los cosenos si hubiera uno de ellos perfectamente.
Por ejemplo, cuando resolvemos la posición instantánea del objeto en la ley de Hooke (forma similar en todas partes también) tenemos esto:
$$ -kx = F = m \ frac {\ mathrm {d} ^ 2} {\ mathrm {d} t ^ 2} x $$
Y la solución pasa a ser una función lineal de \ $ x = \ mathrm {sin} (t) \ $.
Los científicos no eligieron la onda sinusoidal, eso es lo que obtuvieron de un generador de CA. En el generador de CA, la onda sinusoidal se genera debido al movimiento del rotor dentro de un campo magnético. No hay una manera fácil de hacerlo de otra manera. Vea esta figura en Wikipedia. enlace
Las ondas sinusoidales contienen una sola frecuencia. Una onda cuadrada o triangular es una suma de una cantidad infinita de ondas sinusoidales que son armónicas de la frecuencia fundamental.
La derivada de una onda cuadrada perfecta (tiene un tiempo de subida / caída cero) es infinita cuando cambia de baja a alta o viceversa. La derivada de una onda triangular perfecta es infinita en la parte superior e inferior.
Una consecuencia práctica de esto es que es más difícil transferir una señal cuadrada / triangular, por ejemplo, a través de un cable en comparación con una señal que es solo una onda sinusoidal.
Otra consecuencia es que una onda cuadrada tiende a generar mucho más ruido radiado en comparación con una onda sinusoidal. Debido a que contiene muchos armónicos, esos armónicos pueden irradiar. Un ejemplo típico es el reloj a una SDRAM en una PCB. Si no se encamina con cuidado, generará una gran cantidad de emisión irradiada. Esto puede causar fallas en las pruebas de EMC.
Una onda sinusoidal también puede irradiar, pero entonces solo la frecuencia de onda sinusoidal se irradiaría.
En primer lugar, las funciones seno y coseno son uniformemente continuas (por lo que no hay puntos discontinuos en ninguna parte de su dominio) e infinitamente diferenciables en toda la línea Real. También se calculan fácilmente mediante una expansión de la serie de Taylor.
Estas propiedades son especialmente útiles para definir la expansión de la serie de Fourier de funciones periódicas en la línea real. Por lo tanto, las formas de onda no sinusoidales, como las ondas cuadradas, de diente de sierra y de triángulo, se pueden representar como una suma infinita de funciones sinusoidales. Ergo, la onda sinusoidal forma la base del análisis armónico y es la forma de onda más matemáticamente simple de describir.
Siempre nos gusta trabajar con modelos matemáticos lineales de realidades físicas debido a su simplicidad para trabajar. Las funciones sinusoidales son 'funciones propias' de sistemas lineales.
Esto significa que si la entrada es \ $ \ sin (t) \ $
la salida tiene la forma \ $ A \ cdot \ sin ( t + \ phi) \ $
La función permanece igual y solo se escala en amplitud y se desplaza en el tiempo. Esto nos da una buena idea de lo que sucede con la señal si se propaga a través del sistema.
Sine / Cosine son soluciones de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.
sin '= cos, cos' = - sin
Los elementos electrónicos básicos como inductores y condensadores producen una integración de una diferenciación de corriente a tensión.
Al descomponer señales arbitrarias en ondas sinusoidales, las ecuaciones diferenciales se pueden analizar fácilmente.
Una forma de verlo, en pocas palabras, es que una serie armónica de funciones seno y coseno forma una base ortogonal de un espacio vectorial lineal de funciones de valor real en un intervalo de tiempo finito. Por lo tanto, una función en un intervalo de tiempo puede representarse como una combinación lineal de funciones seno y coseno relacionadas armónicamente.
Por supuesto, puede usar otro conjunto de funciones (por ejemplo, wavelets particulares) siempre y cuando formen un conjunto de bases válido, y descompongan la función de interés de esa manera. A veces, tales descomposiciones pueden ser útiles, pero hasta el momento solo conocemos aplicaciones especializadas para ellas.
Tomando una analogía geométrica: podrías usar una base no ortogonoal para describir los componentes de un vector. Por ejemplo, un vector en una base ortonormal puede tener componentes de [1,8,-4] . En otras bases no ortonormales, puede tener componentes de [21,-43,12] . Si este conjunto de componentes es más fácil o más difícil de interpretar que la base ortonormal habitual, depende de lo que intente hacer.