Ayuda de la ecuación de convolución

Dado que otros han proporcionado respuestas, intentaré responder con un enfoque intuitivo.

La ecuación original es:

\ $ y (n) = \ sum \ limits_ {m = - \ infty} ^ \ infty u (m) (. 5) ^ {n-m} u (n-m) \ $

Ahora, debido a la presencia de \ $ u (m) \ $, los términos para \ $ m < 0 \ $ son cero. Por lo tanto, la suma no se modifica al cambiar el límite inferior de \ $ - \ infty \ $ a cero. Este cambio de límite inferior hace que la presencia de \ $ u (m) \ $ sea redundante y, por lo tanto, se puede eliminar.

\ $ y (n) = \ sum \ limits_ {m = - \ infty} ^ \ infty u (m) (. 5) ^ {nm} u (nm) = \ sum \ limits_ {m = 0} ^ \ infty (.5) ^ {nm} u (nm) \ $

De manera similar, debido a la presencia de \ $ u (n-m) \ $, los términos para \ $ m > n \ $ son cero. Por lo tanto, la suma no se modifica al cambiar el límite superior de \ $ \ infty \ $ a \ $ m = n \ $. Este cambio del límite superior hace que la presencia de \ $ u (n - m) \ $ sea redundante y, por lo tanto, se puede eliminar.

\ $ y (n) = \ sum \ limits_ {m = 0} ^ \ infty (.5) ^ {nm} u (nm) = \ sum \ limits_ {m = 0} ^ {m = n} (.5) ^ {nm} \ $

Piensa en lo que está sucediendo cuando haces convolución. Está tomando h (m) y lo refleja sobre m = 0, y lo compensa con n. Puedes demostrar esto:
En una hoja de papel, dibuje x (m) = u (m). En una segunda pieza, dibuja h (-m). Alinéalos a cero. Esto es n = 0. Los dos se superponen solo en cero. Ahora mueva la segunda pieza a la derecha por uno. Ahora tiene n = 1. Se superponen en 0 y 1. Cambie a la derecha otra vez y tendrá n = 2. Y así sucesivamente.
Debería poder ver por qué la suma es cero para todos los m < 0, y para todos los m > n

Es simple. Ya has respondido la pregunta con tu otra pregunta:

"EDITAR: Además, ¿por qué los límites cambian de +/- infinito a m = n y n = 0?"

En lugar de escribir su ecuación con u (..), simplemente analiza dónde comienza su respuesta al paso y luego puede cambiar sus límites de suma a los límites de la respuesta al paso. De esta manera, su ecuación es válida solo cuando u (...) = 1 para que pueda eliminarla desde allí. Por lo tanto, sabe que su respuesta final tiene una limitación de tiempo:

y (t) = .... con (t > t0) o (t < t0) dependiendo de cómo esté tu u (t)

Y puedes hacerlo porque cuando la respuesta al paso es cero, no pasará nada y tu ecuación se pondrá a cero. Esta es la razón por la que cambia sus límites de suma / integral, por lo que a su ecuación solo le importa cuando u (t) no es cero. Y es la misma razón por la que puedes eliminar u (t) de él.

\ $ u (n) \ $ es el paso de unidad y \ $ u (n-m) \ $ sigue siendo un paso de unidad demorado por \ $ m \ $ muestras. Independientemente de cualquier retraso, el paso de la unidad sigue siendo el mismo, con cada muestra \ $ S_n, n \ gt m \ $ teniendo un valor de uno; que es equivalente a:

  

\ $ \ \ sum \ limits_ {m = - \ infty} ^ \ infty u (m) (. 5) ^ {nm} u (nm) = \ sum \ limits_ {m = 0} ^ {m = n} (.5) ^ {nm} \ cdot (1) = \ sum \ limits_ {m = 0} ^ {m = n} (.5) ^ {nm} \ $