El resistor de compuerta en un MOSFET realmente está ahí para proteger lo que sea que esté obteniendo la corriente. Al igual que un capacitor descargado, la compuerta inicialmente se verá como un corto a tierra cuando se aplica el voltaje por primera vez. Un MOSFET con una capacitancia de compuerta muy grande puede hundir una gran cantidad de corriente durante un corto período de tiempo. Si está conduciendo la compuerta con, por ejemplo, un pin de MCU, generalmente es una buena idea colocar una pequeña resistencia para reducir el aumento de corriente a un valor que la MCU puede manejar. Si su pin MCU puede manejar, digamos, 20 mA y está conduciendo 3.3V en la puerta, entonces elige una resistencia que limita la corriente a 20mA a 3.3V:
$$ R_ {gate} = \ frac {V} {I} = \ frac {3.3V} {20mA} = 165Ω $$
Los pines de salida digital de la mayoría de las MCU ya tienen límite de corriente, por lo que no es estrictamente necesario. Pero, ¿por qué golpear el circuito de la unidad de salida hasta el punto en que el limitador de corriente se activa?
Por cierto, los controladores MOSFET son IC creados específicamente para conducir una gran cantidad de corriente en la puerta de un MOSFET para activar el MOSFET lo más rápido posible. El MOSFET se enciende más rápido y las pérdidas por conmutación son menores.
Dicho todo esto, creo que tienes otro problema con tu circuito. Sospecho que 3.3V no es suficiente para encender dos LED UV en serie. El voltaje deberá ser al menos tan alto como 2 veces el voltaje de avance de uno de esos LED. Tal como está, no creo que los LED se enciendan.
