Realmente necesita solo sobre frecuencia de muestreo de 2 kHz para muestrear correctamente las ondas sinusoidales de 1 kHz. Sus $$ f_N < f_S / 2 $$ no $$ f_N \ le f_S / 2 $$

P.S. Si tomaste tu señal en un espacio complejo, donde una sinusoide es de la forma $$ v (t) = Ae ^ {j (2 \ pi ft - \ theta)} = A (\ cos (2 \ pi ft - \ theta) + j \ sin (2 \ pi ft - \ theta)) $ PS donde t es el tiempo, A es la amplitud, f es la frecuencia y θ es el desplazamiento de fase, $$ f_N = f_S / 2 $$ es el punto donde la frecuencia "se pliega", es decir, no puede distinguir f de -f . En el caso de una sinusoide pura aparecerán aumentos adicionales en la frecuencia, después del muestreo, para que se les reste la frecuencia de muestreo.

No sinusoides

En el caso de una onda cuadrada a 1 kHz con un ciclo de trabajo menor o igual al 10% que se muestrea a 10 kHz, no está entendiendo la entrada.

Primero, necesitaría descomponer su forma de onda en una serie de Fourier para averiguar cuáles son las amplitudes de los componentes armónicos. ¡Probablemente se sorprenderá de que los armónicos de esta señal son bastante grandes después de los 5 kHz! (La regla de oro de la tercera armónica es 1/3 tan fuerte como la fundamental, y la quinta es 1/5 de la fundamental, solo se aplica al 50% de las ondas cuadradas del ciclo de trabajo .)

La regla de oro para una señal de comunicaciones es que su ancho de banda complejo es el mismo que el inverso del tiempo de su pulso más pequeño, por lo que en este caso está buscando un ancho de banda mínimo de 10 kHz (-5 kHz a 5 kHz) para un ciclo de trabajo del 10% con el fundamental a 1 kHz (es decir, 10 kbps).

Entonces, lo que te arruinará es que estos fuertes armónicos de orden superior se plegarán e interferirán (de manera constructiva o destructiva) con los armónicos dentro de la banda, por lo que es de esperar que no obtengas un buen muestreo porque hay tanta información. fuera de la banda de Nyquist.

Mike lo explica bien: es el alias que hace que desaparezcan los armónicos en la señal muestreada, el plegamiento de las frecuencias más altas de \ $ F_S + f \ $ a \ $ F_S - f \ $.
Cuando trabaje con señales muestreadas, siempre debe asegurarse de filtrar todo lo que esté por encima de \ $ F_S / 2 \ $ .

Enesteespectro,laparteazuleselespectrodelaseñaldesubandabasede\$-F_S/2\$a\$F_S/2\$.(Consulte esta pregunta sobre las frecuencias negativas).
Tenga en cuenta que este espectro se repite alrededor de cada múltiplo de \ $ F_S \ $. En este ejemplo no hay problema; La señal original se separa de las imágenes y se puede reconstruir.

En este ejemplo (solo se muestran las frecuencias positivas) podemos ver que la señal de la banda base se extiende más allá de \ $ F_S / 2 \ $. Debido a que los alias plegables se superponen con nuestra señal base, y no hay forma de que podamos filtrarlos nuevamente. Es por eso que necesita un filtro de paso bajo (agudo).

Ahora puede decir que el pulso se verá completamente diferente después del filtrado de paso bajo, y eso es correcto, pero si no desea que haya elegido su frecuencia de muestreo demasiado baja. (Para una señal discontinua como el pulso, que tiene un espectro infinito, siempre tendrá distorsión, cualquiera que sea su \ $ F_S \ $). Recuerde que puede reconstruir la señal solo para frecuencias menores a \ $ F_S / 2 \ $.

El teorema está bien. Su señal NO debe contener frecuencias iguales o superiores a la mitad de la frecuencia de muestreo, de acuerdo con Nyquist. Shannon probablemente lo permita, pero es su versión del teorema, lo que probablemente causa ambigüedad en una frecuencia crítica.

Editar (Re: ¿Votar por una respuesta corta?): No veo la necesidad de explicar el método de muestreo en sí. La pregunta es acerca de la confusión "si la frecuencia crítica está incluida en la banda o no", y si la redacción del teorema de Shannon contiene una falla. En realidad lo hace (como lo veo en la wiki mundial). O lo más probable es que los autores de la wiki citaran su palabra de manera imprecisa. Y, por cierto, hay 4 autores independientes en el siglo XX de este mismo teorema, por lo que la confusión de que alguien aprende la idea de fuentes aleatorias puede empeorar.

Si tiene 2 muestras en una onda sinusoidal de \ $ N Hz \ $, y ocurren en los cruces por cero, en \ $ \ frac {1} {2} N \ $ y \ $ 1N \ $ entonces Puede determinar la frecuencia de la señal por el tiempo entre las dos muestras.

\ $ f = \ dfrac {1} {2t} \ $

Donde \ $ f \ $ es la frecuencia y \ $ t \ $ es el tiempo entre dos muestras de cruce por cero.

Pero de acuerdo con la Wikipedia:

  

En esencia, el teorema muestra que una señal analógica de banda limitada que se ha muestreado puede reconstruirse perfectamente a partir de una secuencia infinita de muestras si la tasa de muestreo supera las 2B muestras por segundo, donde B es la frecuencia más alta en la señal original.

Por lo tanto, una frecuencia de muestreo de dos veces la frecuencia es errónea, debería ser un poco más de el doble de la frecuencia. De esa manera, las muestras sucesivas capturan partes ligeramente diferentes de la forma de onda.

Al muestrear a una frecuencia particular F, cada componente de frecuencia f generará alias de la forma kF + f y kF- f para todos valores enteros de k. En el uso común, no hay componentes de frecuencia por encima de F / 2 cuando se muestrea la señal, por lo que los únicos componentes en el rango de 0 a F / 2 serán aquellos que estaban presentes en la señal original. Después del muestreo, habrá componentes de señal por encima de F / 2 (generados como alias de los siguientes). El más problemático de estos para cualquier frecuencia f en la señal original será el de la frecuencia F- f .

Tenga en cuenta que a medida que la frecuencia f se aproxima a F / 2 desde abajo, la primera frecuencia de alias se aproximará a F / 2 desde arriba. Si la entrada contiene una señal en la frecuencia F / 2-0.01Hz, habrá un alias en la frecuencia F / 2 + 0.01Hz - solo 0.02Hz por encima de ella. Separar las señales originales y alias será teóricamente posible, pero en la práctica será difícil. La forma de onda muestreada aparecerá como la suma de dos ondas de igual intensidad con una frecuencia casi igual. Como tal, su amplitud parecerá cambiar con la fase relativa de las ondas de mayor frecuencia. En el caso de que la frecuencia de entrada sea exactamente F / 2, la frecuencia de alias también será exactamente F / 2. Como no habrá separación de frecuencias entre el original y el alias, la separación será imposible. La relación de fase entre las señales originales y las alias determinará la amplitud de la señal resultante. Si las señales originales y con alias están desfasadas 180 grados, las señales originales y con alias se cancelarán con precisión.