Ley de Gauss. Vector de polarización
El Gauss Law trae la relación local entre el campo eléctrico y las fuentes.
Las principales fuentes de campo eléctrico son las cargas gratuitas, pero también podemos considerar la contribución del campo producido por el material polarizado.
$$
\ nabla \ cdot \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = \ dfrac {\ rho_l (\ mathbf {r}) + \ rho_P (\ mathbf {r})} {\ varepsilon_0}
$$
donde \ $ \ rho_l \ $ es la contribución de cargo gratuito, y \ $ \ rho_P \ $ es la contribución debida a la polarización. Pero
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\ rho_P (\ mathbf {r}) = - \ nabla \ cdot \ mathbf {P} (\ mathbf {r})
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donde \ $ \ mathbf {P} (\ mathbf {r}) \ $ es el Vector de polarización . Entonces
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\ nabla \ cdot \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = \ dfrac {\ rho_l (\ mathbf {r}) - \ nabla \ cdot \ mathbf {P} (\ mathbf {r})} {\ varepsilon_0 }
$$
La densidad de carga libre es
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\ rho_l (\ mathbf {r}) = \ nabla \ cdot \ left (\ varepsilon_0 \, \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) + \ mathbf {P} (\ mathbf {r}) \ derecha)
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recuerda que \ $ \ nabla \ cdot \ mathbf {D} (\ mathbf {r}) = \ rho_l (\ mathbf {r}) \ $, podemos escribir la forma general de la Ley de Gauss:
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\ mathbf {D} (\ mathbf {r}) = \ varepsilon_0 \, \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) + \ mathbf {P} (\ mathbf {r})
$$
El vector de desplazamiento \ $ \ mathbf {D} (\ mathbf {r}) \ $ es la combinación del campo aplicado \ $ \ mathbf {E} \ $ y el campo inducido \ $ \ mathbf {P} \ $ En el material por la polarización de sus moléculas. La polarización de un material depende del campo externo y, a su vez, crea un campo inducido que se superpone al campo externo. Luego existe una relación entre estos campos, en particular entre el vector de polarización y el campo total (el campo que se puede medir).
Para dieléctricos lineales (que son los materiales de mayor interés tecnológico) se aplica: \ $ \ mathbf {P} (\ mathbf {r}) = \ chi_e \, \ varepsilon_0 \, \ mathbf {E} (\ mathbf {r }) \ $ y luego
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\ mathbf {D} (\ mathbf {r}) = \ varepsilon_0 (1+ \ chi) \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = \ varepsilon_0 \, \ varepsilon_r \, \ mathbf {E (r)} = \ varepsilon \, \ mathbf {E (r)}
$$
donde \ $ \ chi \ $ es la susceptibilidad dieléctrica del material. \ $ \ varepsilon = \ varepsilon_0 \, \ varepsilon_r = \ varepsilon_0 (1+ \ chi) \ $ es la permitividad del material, y \ $ \ varepsilon_r \ $ es la permitividad relativa .
Cuanto mayor sea la permitividad del material, se polariza más fuertemente y los efectos eléctricos son mayores.