Con el \ $ X dado (e ^ {jw}) \ $ no obtendrás esa respuesta.
Prueba gráfica:
Si intentamos trazar \ $ X (e ^ {jw}) \ $, será un tren de pulsos con ancho de pulso = \ $ \ pi / 2 \ $ y amplitud = \ $ \ sqrt2 \ $. Y el pulso se centrará en el múltiplo entero de \ $ 2 \ pi \ $ como se muestra en la figura.
Calcularelvalorde\$Y\$en\$w=0\$,
$$Y(e^{j\omega})|_{w=0}=\int_0^{2\pi}{X^2(e^{j\alpha})\frac{d\alpha}{2\pi}}$$
Estaeselárea\$\frac{1}{2\pi}\times\$debajode\$X^2(e^{j\omega})\$desde\$0\$a\$2\piPS
$$Y(e^{j\omega})|_{w=0}=\frac{1}{2\pi}\times(2\times\frac{\pi}{4}+2\times\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}$$
Loquenosatisface\$1-\frac{|\omega|}{\pi}\$.Perounligerocambioen\$X(e^{jw})\$puededarteelresultado.
Cambiandolapregunta:
Si\$X(e^{jw})\$sedefiniódelasiguientemanera,$$X(e^{j\omega})=\sqrt{2}\sum_{-\infty}^\inftyrect(\frac{\omega+2\pik}{\pi})$$
Luego,\$X(e^{jw})\$seráuntrendepulsossimilaralanterior,peroelanchodelpulsosería\$\pi\$.Vealafiguraquefiguraacontinuación.
El negro representa el \ $ X (e ^ {j \ alpha}) \ $ y el azul representa el \ $ X (e ^ {j \ alpha + w}) \ $. (suponga que 0 < w < \ pi)
Así que el producto
$$ {X (e ^ {j \ alpha}) \ veces X (e ^ {j \ alpha + \ omega})} $$
será cero en todas partes (0 a \ $ 2 \ pi \ $) excepto en la región marcada con color gris. Y la amplitud de este producto será \ $ \ sqrt2 \ times \ sqrt2 = 2 \ $.
Así que la integral
$$ \ int_0 ^ {2 \ pi} {X (e ^ {j \ alpha}) * X (e ^ {j \ alpha + \ omega}) d \ alpha} $$
será dada por el área bajo esta curva de producto. Que será la suma del área debajo de dos rectángulos grises:
$$ \ int_0 ^ {2 \ pi} {X (e ^ {j \ alpha}) * X (e ^ {j \ alpha + \ omega}) d \ alpha} = (\ frac {\ pi} { 2} -w) \ times 2 + \ frac {\ pi} {2} \ times 2 = 2 \ pi - 2w $$
Si haces esto para un cambio de señal hacia la derecha, que corresponde a \ $ w \ $ negativo, obtendrás el mismo resultado.
Para que podamos escribir:
$$ Y (e ^ {jw}) = \ frac {1} {2 \ pi} \ times (2 \ pi - | 2w |) = 1- \ frac {| w |} {\ pi} $ $