Pliegue de dos señales

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Tengo el siguiente problema: de acuerdo con el texto de mi ejercicio, tengo que calcular una señal en el dominio de la frecuencia. Descubrí que podría usar la regla de plegado para sistemas LTI discretos en el tiempo y tengo que calcular:

$$ Y (e ^ {j \ omega}) = \ int_0 ^ {2 \ pi} {X (e ^ {j \ alpha}) * X (e ^ {j \ alpha + \ omega}) \ frac {d \ alpha} {2 \ pi}} $$

$$ X (e ^ {j \ omega}) = \ sqrt {2} \ sum _ {- \ infty} ^ \ infty rect (\ frac {\ omega + 2 \ pi k} {\ pi / 2} ) $$

El resultado debe ser \ $ 1- \ frac {| \ omega |} {\ pi} \ $. Pero ¿por qué?

    
pregunta m79

1 respuesta

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Con el \ $ X dado (e ^ {jw}) \ $ no obtendrás esa respuesta.

Prueba gráfica:

Si intentamos trazar \ $ X (e ^ {jw}) \ $, será un tren de pulsos con ancho de pulso = \ $ \ pi / 2 \ $ y amplitud = \ $ \ sqrt2 \ $. Y el pulso se centrará en el múltiplo entero de \ $ 2 \ pi \ $ como se muestra en la figura.

Calcularelvalorde\$Y\$en\$w=0\$,

$$Y(e^{j\omega})|_{w=0}=\int_0^{2\pi}{X^2(e^{j\alpha})\frac{d\alpha}{2\pi}}$$

Estaeselárea\$\frac{1}{2\pi}\times\$debajode\$X^2(e^{j\omega})\$desde\$0\$a\$2\piPS

$$Y(e^{j\omega})|_{w=0}=\frac{1}{2\pi}\times(2\times\frac{\pi}{4}+2\times\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}$$

Loquenosatisface\$1-\frac{|\omega|}{\pi}\$.Perounligerocambioen\$X(e^{jw})\$puededarteelresultado.

Cambiandolapregunta:

Si\$X(e^{jw})\$sedefiniódelasiguientemanera,$$X(e^{j\omega})=\sqrt{2}\sum_{-\infty}^\inftyrect(\frac{\omega+2\pik}{\pi})$$

Luego,\$X(e^{jw})\$seráuntrendepulsossimilaralanterior,peroelanchodelpulsosería\$\pi\$.Vealafiguraquefiguraacontinuación.

El negro representa el \ $ X (e ^ {j \ alpha}) \ $ y el azul representa el \ $ X (e ^ {j \ alpha + w}) \ $. (suponga que 0 < w < \ pi)

Así que el producto

$$ {X (e ^ {j \ alpha}) \ veces X (e ^ {j \ alpha + \ omega})} $$

será cero en todas partes (0 a \ $ 2 \ pi \ $) excepto en la región marcada con color gris. Y la amplitud de este producto será \ $ \ sqrt2 \ times \ sqrt2 = 2 \ $.

Así que la integral $$ \ int_0 ^ {2 \ pi} {X (e ^ {j \ alpha}) * X (e ^ {j \ alpha + \ omega}) d \ alpha} $$

será dada por el área bajo esta curva de producto. Que será la suma del área debajo de dos rectángulos grises:

$$ \ int_0 ^ {2 \ pi} {X (e ^ {j \ alpha}) * X (e ^ {j \ alpha + \ omega}) d \ alpha} = (\ frac {\ pi} { 2} -w) \ times 2 + \ frac {\ pi} {2} \ times 2 = 2 \ pi - 2w $$

Si haces esto para un cambio de señal hacia la derecha, que corresponde a \ $ w \ $ negativo, obtendrás el mismo resultado.

Para que podamos escribir:

$$ Y (e ^ {jw}) = \ frac {1} {2 \ pi} \ times (2 \ pi - | 2w |) = 1- \ frac {| w |} {\ pi} $ $

    
respondido por el nidhin

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