La lógica invertida puede ser antinatural. Vayamos a la lógica cuantificada:
$$ \ forall x: ({duck} (x) \ land {quacks} (x)) \ lor ({dog} (x) \ land {barks} (x)) \ lor (\ lnot {duck } (x) \ land \ lnot {dog} (x)) $$
"Todo es un pato (y charlatanes), un perro (y ladridos) o no es un pato ni un perro".
Si escribimos el dual, y luego usamos DeMorgan para cambiar la lógica, obtenemos algo antinatural:
Dual (hasta ahora bien):
$$ \ lnot \ existe x: \ lnot ((({{pato} (x) \ land {quacks} (x)) \ lor ({dog} (x) \ land {barks} (x)) \ lor (\ lnot {duck} (x) \ land \ lnot {dog} (x))) $$
DeMorgan's, paso 1:
$$ \ lnot \ existe x: \ lnot (({duck} (x) \ land {quacks} (x)) \ land \ lnot ({dog} (x) \ land {barks} (x) \ land \ lnot (\ lnot {duck} (x) \ land \ lnot {dog} (x)) $$
paso 2:
$$ \ lnot \ existencia x: (({\ lnot duck} (x) \ lor {\ lnot quacks} (x)) \ land ({\ lnot dog} (x) \ lor {\ lnot barks} (x) \ land ({duck} (x) \ lor {dog} (x)) $$
"No existe una cosa que, simultáneamente:
- es un no quacker o un no pato; y
- no es un ladrón ni un perro; y
- es un pato excavado o un perro ".
¿Decir qué? :)
La suma de productos va de la mano con dividir y conquistar. Una representación de la suma de productos de una proposición la divide en todos los casos en los que independientemente la hacen verdadera. La Proposición P es verdadera si tal y tal; o alguna situación; o si ese otro caso. La división en casos independientes ayuda a la claridad en el razonamiento.
Además, en la lógica de predicados y el razonamiento relacionado, usualmente tratamos con aspectos positivos, como "pato", y menos con aspectos negativos como "no pato". "no pato" no es una clase de objeto. Las cosas se clasifican utilizando los atributos positivos que tienen, no lo que no tienen. El espacio de las cosas que son "no pato" es ilimitado. Razonar con tales negativos es confuso.
En lógica proposicional , como en zeroth order logic sin cuantificadores, como con lo que tratamos en los circuitos lógicos, podemos escribir la tabla de verdad completa. Puede resultar que el espacio negativo de una función sea, de hecho, más fácil de caracterizar.
Por ejemplo, una fórmula booleana sobre cuatro variables tiene solo una tabla de 16 filas. Supongamos que hay tres filas para las que es verdadero, y es falso en cualquier otra parte. Luego se produce una fórmula simple al dar esas tres combinaciones de cuatro variables, y combinarlas con o .
Pero supongamos que la fórmula solo es falsa en tres filas. Entonces puede ser más conveniente y natural caracterizar estas excepciones, y expresarlo de esa manera: la fórmula es verdadera cuando las variables no están en esta combinación, y no están en esta otra combinación, y no en esta tercera combinación. Los operadores no pueden luego distribuir en las combinaciones, dando como resultado un producto sobre sumas.
Ejemplo positivo:
A B C D P
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1 *
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1 * Sum of products:
1 0 0 0 0 P = A'BC'D' + A'BCD + ABC'D
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 1 *
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
Ejemplo negativo:
A B C D P
0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0 *
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0 * Product of sums:
1 0 0 0 1 P = (A'BC'D' + A'BCD + ABC'D)'
1 0 0 1 1 P = (A'BC'D')'(A'BCD)'(ABC'D)'
1 0 1 0 1 P = (A + B' + C + D)(A + B' + C' + D')(A' + B' + C + D')
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1 Sum of products:
1 1 0 1 0 * A'B'C'D' + A'B'C'D + A'B'CD' ... (10 more terms)
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
Aun así, a pesar de su simplicidad, es un poco difícil entender la tercera fórmula (producto de sumas) en comparación con la segunda (producto de productos negados). Sin embargo, la suma no simplificada alternativa de 13 productos también es difícil de entender, debido a la gran cantidad de términos.
