"Reactancia capacitiva" equivalente para calcular la corriente rms en una forma de onda de voltaje de CA de frecuencia mixta

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Quiero analizar un circuito muy simple sujeto a una forma de onda de voltaje de CA de conducción no tan simple. En particular, mi circuito consiste simplemente en un solo condensador con capacitancia \ $ C \ $ y una fuente de voltaje de CA \ $ V \ $. Ahora, si \ $ V \ $ estuviera operando a una frecuencia angular fija \ $ \ omega \ $, entonces podría calcular la reactancia capacitiva \ $ X_c \ $ de manera muy simple como:

$$ X_c (\ omega) = \ frac {1} {\ omega C} $$

Sin embargo, ¿qué pasa si mi forma de onda de fuente de voltaje está compuesta por una mezcla de frecuencias dada por una función de densidad espectral, es decir, la transformada de Fourier):

$$ f (\ omega): \ int_ {0} ^ {\ infty} f (\ omega) d \ omega = 1 $$

Pregunta : Me preguntaba si existe una manera de obtener una "reactancia capacitiva equivalente" \ $ X_ {c, eqiv} \ $ tal que:

$$ I_ {rms} = \ frac {V_ {rms}} {X_ {c, eqiv}} $$

??

Mi reacción inicial es que \ $ X_c (\ omega) \ $ es aditivo en todas las frecuencias, y así obtenemos la funcionalidad:

$$ X_ {c, equiv.} = \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {f (\ omega)} {\ omega C} d \ omega $$

Con el requisito de que $$ \ lim_ {t \ a 0} \ frac {f (t)} {t} < \ infty $$

para garantizar que la integral impropia converge.

Si \ $ f (0) = 0 \ $ entonces podemos usar la Regla de L'Hospital para fortalecer esto a:

$$ f '(0) < \ infty $$

Pregunta: ¿Es este el enfoque correcto para obtener \ $ X_c \ $ para circuitos de frecuencia mixta?

Respuesta al comentario de Andy aka

Andy solicitó un escenario específico. A continuación se muestra un ejemplo de una configuración que estoy analizando:

simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab

La forma de onda de la fuente de voltaje \ $ V (t) \ $ tiene la siguiente transformada de Fourier en el dominio de la frecuencia (\ $ f \ $ en kHz): $$ S (f) = \ frac {e ^ {- \ frac {1} {2} \ log ^ 2 (f)}} {\ sqrt {2 \ pi} f} $$

Supervisaré la corriente en el punto indicado y calcularé el valor rms de la forma de onda de la corriente resultante.

Es una configuración bastante típica, aunque los valores específicos cambiarán, o puedo usar una distribución diferente en las frecuencias.

    
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2 respuestas

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Ya que ha especificado un circuito para analizar, veamos el método normal de análisis utilizando las funciones de transferencia. El método normal de análisis para este tipo de circuito se denomina análisis de la función de transferencia, es decir, para encontrar la dependencia de la corriente de salida, que tomaré para estar a través del capacitor, en el voltaje de entrada. Es decir, la función de transferencia se define por: $$ H (j \ omega) = \ frac {I_ {out} (j \ omega)} {V_ {in} (j \ omega)} ~ (S) $$ Para el circuito proporcionado, esto da el voltaje - > Función de transferencia de corriente (con unidades de Siemens) de: $$ I_ {out} (j \ omega) = \ frac {V_ {in} (j \ omega)} {\ frac {1} {j \ omega C}} = j \ omega C V_ {in} (j \ omega) \\ H (j \ omega) = j \ omega C $$ Desde que ha decidido que la distribución de frecuencia de entrada se va a distribuir log-squared: $$ V_ {en} (j \ omega) = \ frac {e ^ {- \ frac {1} {2} \ log ^ 2 (j \ omega)}} {j \ omega \ sqrt {2 \ pi}} $$ $$ I_ {out} (j \ omega) = H (j \ omega) V_ {in} (j \ omega) \\ = \ frac {e ^ {- \ frac {1} {2} \ log ^ 2 (j \ omega)}} {j \ omega \ sqrt {2 \ pi}} \ cdot j \ omega C \\ = \ frac {Ce ^ {- \ frac {1} {2} \ log ^ 2 (j \ omega)}} {\ sqrt {2 \ pi}} $$ Si desea ver cómo se ve esta respuesta en el dominio de tiempo, puede encontrar la corriente del dominio en tiempo real tomando la transformación inversa de Fourier: $$ I_ {out} (t) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty I_ {out} (j \ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega $$ La constante colocada en la transformada de Fourier dependerá de la "forma" de la transformación que esté utilizando. Normalmente, en EE adjuntaremos la constante en la transformación inversa.

    
respondido por el Captainj2001
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Mi reacción inicial es que Xc (ω) es aditivo en todas las frecuencias

Tomemos el caso de un condensador simple de 1uF a 1kHz: tiene una reactancia de 159 ohmios. Es tan simple como eso.

Sí, tiene una reactancia de 15.9 ohmios a 10 kHz, pero nadie dice que la reactancia es de 159 ohmios en paralelo (o serie) con 15.9 ohmios. Hacerlo es perder todo el punto.

    
respondido por el Andy aka

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