¿Por qué no se puede usar el análisis de malla para circuitos no planos?

Mi antigua copia Uni de Análisis de red (Van Valkenburg) continúa durante uno o tres capítulos sobre la base del fondo matemático (topológico), tocando la solución de Euler del problema del puente de Konigsberg en 1735 y Kirchhoff en 1947 y Listado.

Lo que llaman el método del "panel de ventana" permite que las mallas esenciales se identifiquen mediante bucles de inspección sin bucles internos, y las ramas esenciales son ramas que no cruzan otras ramas.

Si no es planar, no puede dibujarlo como tal , por lo que le sugieren que emplee lo que ellos llaman el método de "conjunto de acordes y árboles" para analizar el circuito.

Probablemente podrías obtener una prueba matemática rigurosa basada en la teoría de gráficos, pero no de moi.

Creo que la razón está en términos de definiciones, por lo que el método puede especificarse de tal manera que sea fácil de aplicar.

Si el circuito no es plano, entonces las ramas "3-D" no tienen mallas definibles claramente, ya que en 3-D no se puede hablar de "bucles que no tienen bucles internos". El bucle que contiene los componentes en las ramas 3-D puede tener muchas rutas, y no es inequívoco como en los circuitos planares.

Tampoco es posible que cada componente tenga solo 2 o 1 mallas (puede tener más), y no es posible tener una convención fácil de seguir para la dirección de la corriente del bucle.

Todas estas complicaciones, creo, hicieron que valiera la pena limitar el análisis de malla a 2-D, y dejar el "análisis de bucle" con sus "corrientes de bucle" como un método más general. En ese método usted define los bucles de una manera más general, siempre que cada componente esté contenido dentro de al menos un bucle. Lo mismo, pero es más difícil de rastrear, pero igualmente válido.

La respuesta básica para peatones es la siguiente:

1. Todo lo que tiene para analizar una red de componentes simples es KCL y KVL. Si escribe todas las ecuaciones KCL y KVL, usted (o una computadora) puede resolver el circuito. (Suponiendo que no haya condiciones imposibles, como una fuente de voltaje a través de un cortocircuito, o una fuente de corriente en un circuito abierto).

2. Sin embargo, proceder de esa manera, sin ninguna otra ayuda, es tedioso y propenso a errores, ya que es extremadamente difícil hacer un seguimiento de todas las direcciones de corriente y voltaje .

3. Entonces, como conveniencia contable, el análisis de malla introduce la noción de "bucles actuales". Cada bucle de corriente es no un fenómeno distinto que se puede observar individualmente. Son simplemente un "desglose contable", y siguen directamente de KCL. Pero su gran beneficio es que establecen una convención rigurosa para explicar direction en cada punto de la red. Nota: no es la dirección actual de la corriente o el voltaje, sino simplemente la dirección a contar como la dirección "+". Si la dirección real resulta ser de otra manera, entonces tómela como negativa.

4. Pero este desglose contable de "malla" / "corrientes" de KCL y KVL solo es válido si nuestro método contable totaliza correctamente la corriente en cada cable conectado a cada nodo, sin omitir parte de esa corriente , y no contando doble alguna porción de esa corriente. La forma habitual de lograr esto es centrarse solo en los bucles más internos . (Un bucle más interno es el que no tiene ningún otro cableado o componente dibujado dentro de él). Por ejemplo, ¡no agregamos bucles adicionales para cada posible camino cerrado a través de la red! Confiamos en que "solo contamos todas las corrientes de bucle más internas" como el criterio para garantizar que solo contamos las corrientes que se suman exactamente a lo que KCL espera.

5. Pero hay algunas redes en las que no podemos identificar de forma única los "bucles más internos". Estos son los llamados circuitos "no planares", que no se pueden dibujar en papel plano sin cruces. En esa topología, KCL y KVL todavía funcionan, por supuesto. Pero en algunas partes de la red encontramos bucles candidatos que también tienen un extremo de una rama adicional que pasa por el interior de ese bucle. Ya sea que incluyamos o excluyamos ese bucle en un análisis de bucle, los totales no se sumarían adecuadamente a lo que requiere KCL. Por lo tanto, no podemos usar "contar todos los bucles más internos" como la base para cumplir con KCL en todos los nodos. En consecuencia, la simplificación contable de las corrientes de bucle (más internas) no se puede utilizar con circuitos no planos.

Creo que Spehro da como una respuesta completa que uno puede esperar sin incursionar en la homología de los complejos CW.

Solo quería agregar un ejemplo para que pueda ver cómo se utiliza sutilmente el plano en el análisis de malla. Tome una fuente de voltaje \ $ V \ $ y dos resistencias \ $ R_1 \ $ y \ $ R_2 \ $ conectadas todas en paralelo pero no en el plano sino en tres espacios.

Notarás que ahora hay una simetría y, naturalmente, tienes tres bucles. Un bucle de corriente a través de \ $ R_1 \ $ y la fuente de voltaje \ $ V \ $ (llámelo \ $ i_1 \ $), un bucle a través de \ $ R_2 \ $ y la fuente de voltaje \ $ V \ $ (llámelo \ $ i_2 \ $), y una última entre las dos resistencias (llámela \ $ i_3 \ $).

Ahora hay seis formas de colocar este circuito en el plano (donde la fuente de voltaje está orientada positivamente). Un análisis de malla en cualquiera de estas incrustaciones utilizará dos de los tres bucles. Además, para cualquier elección de dos de los tres bucles, existe un trazado de circuito cuyo análisis de malla utilizará esos dos bucles.

Observe que no puede usar los tres bucles en un análisis de malla porque obtiene el conjunto de ecuaciones $$ V = R_1 (i_1 - i_3) $$ $$ V = R_2 (i_2 + i_3) $$ $$ 0 = R_1 (i_1-i_3) - R_2 (i_2 + i_3) $$

que tiene muchas soluciones, pero no una única.

Con suerte, al menos ahora puedes creer que ser planar implica elegir qué bucles utilizar.