Tenga en cuenta que tiene un amplificador operacional ideal con corriente cero en las entradas y con voltaje cero entre las entradas. Suponiendo un \ $ i (t) \ $ actual a través del condensador de realimentación (de derecha a izquierda), obtenemos
$$ i (t) = C \ frac {dv_o (t)} {dt} \ quad \ text {y} \ quad v_o (t) = \ frac {1} {C} \ int i (t) dt \ tag {1} $$
Dado que no fluye corriente dentro o fuera de la entrada inversora del amplificador operacional, la misma corriente también fluye a través de la conexión en serie de \ $ R \ $ y \ $ C \ $ en la entrada:
$$ v_i (t) + Ri (t) + \ frac {1} {C} \ int i (t) dt = 0 \ tag {2} $$
Al conectar \ $ (1) \ $ a \ $ (2) \ $ obtenemos
$$ v_i (t) + RC \ frac {dv_o (t)} {dt} + v_o (t) = 0 \ tag {3} $$
Usando la constante de tiempo \ $ \ tau = RC \ $, \ $ (3) \ $ se puede reescribir como
$$ \ frac {dv_o (t)} {dt} + \ frac {1} {\ tau} v_o (t) = - \ frac {1} {\ tau} v_i (t) \ etiqueta {4} $$
La solución homogénea de \ $ (4) \ $ es
$$ v_ {o, h} (t) = Ae ^ {- t / \ tau}, \ quad t > 0 \ tag {5} $$
(con una constante \ $ A \ $ por determinar) y, dado que \ $ v_i (t) \ $ es constante para \ $ t > 0 \ $ (igual a \ $ v_i (0 ^ +) = 10V \ $), una solución particular es
$$ v_ {o, p} (t) = - v_i (0 ^ +), \ quad t > 0 \ tag {6} $$
La solución total es la suma de la solución homogénea y la solución particular:
$$ v_o (t) = Ae ^ {- t / \ tau} -v_i (0 ^ +), \ quad t > 0 \ tag {7} $$
La constante \ $ A \ $ debe determinarse a partir de la condición inicial \ $ v_o (0 ^ +) = 0 \ $:
$$ v_o (0 ^ +) = A-v_i (0 ^ +) = 0 \ quad \ Longrightarrow \ quad A = v_i (0 ^ +) \ tag {8} $$
que finalmente nos da la solución completa
$$ v_o (t) = v_i (0 ^ +) (e ^ {- t / \ tau} -1), \ quad t > 0 \ tag {9} $$
