¿Qué potencia en las salidas obliga a los electrones a regresar al ánodo en las baterías?

No hay absolutamente nada mágico sobre el poder en una "salida". Simplemente hay más de lo que hay en una batería.

Como ilustración simple, tome dos baterías recargables, una plana y otra completamente cargada. El plano tendrá un voltaje mucho más bajo que el completamente cargado. Digamos que son 0.8v y 1.3v respectivamente.

Conecte las baterías entre sí en paralelo: + a + y - a - (nota: en realidad no haga esto, puede sobrecalentar y quemar las baterías, solo hágalo en la cabeza).

Ahora, una batería quiere que el voltaje entre + y - sea 1.3v, pero la otra solo puede administrar 0.8v. Así que la batería más fuerte gana y eleva el voltaje hasta donde quiere que esté. Para hacer eso, tiene que "ayudar" a la otra batería para llegar allí, dándole algo de su carga.

Después de un tiempo, ambas baterías encontrarán un equilibrio en el que tendrán la misma cantidad de carga y ambas querrán que el voltaje sea el mismo. En ese momento, todo se detiene. La batería descargada ha ganado una buena cantidad de carga y la batería cargada ha perdido una cantidad de carga equivalente.

Ahora, la diferencia con un tomacorriente es simplemente que hay una cantidad de carga aparentemente infinita para "ayudar" a que la batería descargada alcance el voltaje que el cargador quiere que sea, el cargador nunca se desinfla, por lo que la batería plana puede "ayudó" a la carga completa, y más allá si el cargador no sabe cuándo detenerse.

_{Nota a los pedantes: Sí, todo esto es completamente incorrecto, pero pinta una imagen que ayuda al OP a comprender los conceptos básicos.}

No hay magia involucrada.

El voltaje de la fuente de carga debe ser un poco más alto que el voltaje de la batería que se está cargando; esto hará que la corriente fluya desde la fuente de carga a la batería.

Para una batería de automóvil de "12 voltios", la fuente de carga puede ser de hasta 14.4 voltios mientras se está cargando, y (con un cargador "inteligente") caerá a 13.6 voltios cuando la batería alcance su carga completa.