La coincidencia de impedancia es complicada, pero el papel de una línea de transmisión de cuarto de onda es mapear de una impedancia a otra. La impedancia real de la línea no coincidirá con la impedancia de entrada o de salida, esto es totalmente esperado.
Sin embargo, a una frecuencia dada, cuando se inserta una línea de cuarto de onda correctamente diseñada con la impedancia correcta, la impedancia de salida aparecerá en la entrada como perfectamente compatible. En su caso, el transformador hará que la impedancia \ $ 20 \ Omega \ $ aparezca como si fuera una impedancia \ $ 100 \ Omega \ $, lo que significa que no hay discordancia. Esencialmente, guía las ondas de una impedancia característica a otra.
La forma más fácil de visualizar esto es en una tabla de Smith, trace los dos puntos 0.4 (\ $ 20 \ Omega \ $) y 2 (\ $ 100 \ Omega \ $). Luego dibuje un círculo centrado en el eje resistivo / real (línea por la mitad) que intersecta ambos puntos. Encontrará que este punto se encuentra en 0.894 (\ $ 44.7 \ Omega \ $) si sus cálculos son correctos. Esto se muestra a continuación en \ $ 500 \ mathrm {MHz} \ $, pero la frecuencia solo es importante al convertir la longitud eléctrica en una longitud física.
Lo que hace un transformador de cuarto de onda es rotar un punto dado por \ $ 180 ^ \ circ \ $ alrededor de su impedancia característica en el gráfico de Smith (que es \ $ \ lambda / 4 = 90 ^ \ circ \ $ forward más \ $ 90 ^ \ circ \ $ reverse).
Exactamente por qué hace esto es complejo. Pero el resultado final de una derivación larga es que para una línea de transmisión de impedancia \ $ Z_0 \ $ conectada a una carga de impedancia \ $ Z_L \ $ y con una longitud \ $ l \ $, entonces se da la impedancia en la entrada por:
$$ Z_ {in} = Z_0 \ frac {Z_L + jZ_0 \ tan \ left (\ beta l \ right)} {Z_0 + jZ_L \ tan \ left (\ beta l \ right)} $$
Esa es una ecuación fea, pero sucede si la longitud eléctrica \ $ \ beta l \ $ es \ $ \ lambda / 4 \ $ (\ $ 90 ^ \ circ \ $), el \ $ \ tan \ $ part va al infinito, lo que permite simplificar la ecuación para:
$$ Z_ {in} = Z_0 \ frac {Z_0} {Z_L} = \ frac {(Z_0) ^ 2} {Z_L} \ rightarrow Z_0 = \ sqrt {\ left (Z_ {in} Z_L \ right) } $$
De donde viene tu cálculo.
Con el transformador de cuarto de onda en su lugar, la carga parece coincidir con la fuente. En otras palabras, el transformador hace coincidir ambas de sus interfaces, no solo el extremo de entrada.
También puede ver en esta ecuación por qué el transformador solo funciona para una sola frecuencia, ya que se basa en que la longitud física es \ $ \ lambda / 4 \ $. En realidad, puedes (generalmente utilizando herramientas de diseño avanzadas) lograr una coincidencia aproximada en un rango de frecuencias, básicamente una coincidencia lo suficientemente cercana pero no exacta.