Supongamos un circuito RLC en serie en serie con una batería de 12 V y un interruptor abierto inicialmente. R = 100, L = 100mH y C = 10uF. L y C se descargan inicialmente.
A t = 0 el interruptor está cerrado.
Quiero saber la ecuación actual.
Calculo \ $ \ alpha = \ frac {R} {2L} = \ frac {100} {2 \ veces 100x10 ^ {- 3}} = 500 \ $
entonces \ $ \ omega_0 = \ sqrt {\ frac {1} {LC}} = = \ sqrt {\ frac {1} {100 \ times 10 ^ {- 3} \ times 10 \ times 10 ^ {- 6}}} = 1000 \ $
\ $ \ alpha < \ omega_0 \ $, por lo que estamos tratando con un circuito que no tiene luz y la ecuación actual tiene la forma
\ $ i (t) = e ^ {- \ alpha t} [K_1 \ thinspace Cos (\ omega_d t) + K_2 \ thinspace Sen (\ omega_d t)] + I _ {\ infty} \ $
Necesito determinar \ $ K_1 \ $ y \ $ K_2 \ $
Aplico las primeras condiciones iniciales. La corriente en el tiempo 0 es 0
\ $ i (t = 0) = 0 = e ^ {0} [K_1 \ thinspace Cos (0) + K_2 \ thinspace Sen (0)] + 0 \ $
0 = [K_1 + 0] + 0 \ $
\ $ K_1 = 0 \ $
Segunda condición, \ $ i '(0) = 0 \ $
La derivada de la ecuación i me da
\ $ \ frac {V_L} {L} = - \ alpha e ^ {- \ alpha t} [K_1 \ thinspace Cos (\ omega_d t) + K_2 \ thinspace Sen (\ omega_d t)] - \ omega_d e ^ {- \ alpha t} \ thinspace K_1 \ thinspace Sen (\ omega_d t) + \ omega_d e ^ {- \ alpha t} \ thinspace K_2 \ thinspace Cos (\ omega_d t) \ $
cuando aplico t = 0 que me da \ $ K_2 = 0 \ $
Con K1 y K2 igual a cero, no hay ecuación actual.
¿Cómo obtengo estas incógnitas?