Así que tengo un problema de convolución. Tengo dos señales:
Necesito encontrar la salida, y (t), mediante convolución gráfica.
Así que configuro la integral de convolución de esta manera: $$ \ int h (\ tau) * x (t- \ tau) d \ tau $$
Lo configuré de esta manera porque creía que era más fácil 'voltear y deslizar' la función exponencial que la función de paso de unidad. Entonces, sustituí en \ $ h (\ tau) \ $ y \ $ x (t- \ tau) \ $ así. $$ \ int_ {t- \ inf} ^ {0} 1 * e ^ {t- \ tau} d \ tau $$ Esto entonces me dio: $$ -e ^ {t- \ tau} | _ {t- \ inf} ^ 0 $$ Lo que es igual a \ $ - e ^ t \ $. Esto está bien, y aceptable en mi opinión. Sin embargo, al pasar a la siguiente sección, donde la exponencial está parcialmente fuera de la función de paso de unidad, obtengo problemas. La ecuación que utilicé aquí fue esta: $$ \ int _ {- \ inf} ^ 0e ^ {t- \ tau} d \ tau + \ int_ {t- \ inf} ^ te ^ {t- \ tau} d \ tau $$ Esto incluye la sección anterior de infinito a 0, y agrega la nueva sección, donde el exponencial ahora se ha movido parcialmente fuera de la función de paso, estando vinculado por \ $ t- \ inf \ $, como antes, y \ $ t \ $ . Esto entonces me da esto: $$ -e ^ {t- \ tau} | _ {- \ inf} ^ 0 + -e ^ {- t- \ tau} | _ {t- \ inf} ^ t $$ Aquí es donde empiezo a tener problemas. \ $ - e ^ {t- \ tau} | _ {- \ inf} ^ 0 \ $ se evalúa para: $$ -e ^ t + e ^ {t + \ inf} $$ Esto es, por supuesto, un problema, ya que \ $ e ^ {t + \ inf} \ $ es infinito y no se puede usar porque no converge.
¿Hay alguna forma diferente de que pueda convolucionar gráficamente estas dos señales sin tener problemas con el infinito?
Ahora, he hecho este problema usando \ $ h (t- \ tau) \ $ y \ $ x (\ tau) \ $. Esto se encuentra en un problema similar. Para la primera sección, donde la función de paso está parcialmente fuera de la exponencial, obtengo esto: $$ \ int _ {- \ inf} ^ 0e ^ -td \ tau $$ Eso se evalúa a esto: $$ -te ^ {- t} $$ Multa. Bueno. Ahora, cuando hago la siguiente sección, donde la función de paso ha pasado \ $ \ tau = 0 \ $, y ahora el límite de la función de paso va a lo largo de la curva del exponencial, tengo esto: $$ \ int _ {- \ inf} ^ 0e ^ {- t} d \ tau + \ int_0 ^ te ^ {- t} d \ tau $$ Esto se evalúa como \ $ \ tau e ^ {- t} | _ {- \ inf} ^ 0 + \ tau e ^ {- t} | _0 ^ t \ $, o \ $ \ inf + te ^ {- t} \ $.
Entonces me encuentro con un problema similar al que había tenido antes.
Así que decidí hacer esta convolución usando transformadas de Laplace. Ya que: $$ x (t) = e ^ {- t} $$ y $$ h (t) = u (-t) $$ Encontré estas transformaciones: $$ H (s) = \ frac1s; X (x) = \ frac {1} {s + 1} $$ Multiplicando estos, encuentro: $$ Y (s) = \ frac {1} {s ^ 2 + 1} $$
Al aplicar una Transformada de Laplace inversa, obtengo: $$ y (t) = 1 - e ^ {- t} $$