Solución de corriente en el circuito RLC en serie para una función de forzado

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Tengo una pregunta básica relacionada con la respuesta del circuito de la serie RLC Suponiendo que tengo fuente sinusoidal de la forma $$ V_ {fuente} = V_m * sin (\ omega * t) $$ La ecuación para voltajes en el circuito RLC se puede dar como $$ \ d''i (t) / dt + R / L * di (t) / dt + i (t) / (L * C) = V_ {fuente} $$ Espero que la ecuación anterior sea correcta. Ahora la solución a esta ecuación es $$ i (t) = I (t) _ {ss} + I (t) _ {tr} $$ donde \ $ I (t) _ {ss} \ $ es la respuesta de estado estable (también conocida como solución a la ecuación no homogénea / respuesta forzada / solución particular) y \ $ I (t) _ {tr} \ $ es respuesta transitoria (también conocido como solución general / solución a ecuación homogénea / respuesta natural).

Supongamos que la frecuencia de \ $ V_ {fuente} \ $ es igual a la frecuencia de resonancia del circuito RLC. Ahora \ $ I (t) _ {tr} \ $ le dirá si el circuito está bajo / sobre / amortiguado críticamente y \ $ I (t) _ {ss} \ $ le dará la amplitud máxima de corriente que en este el caso será \ $ V_m * cos (\ omega * t) / R \ $ ya que el circuito está en resonancia. Pero obtengo la siguiente respuesta Ahoraenestadoestable(aproximadamentedespuésde0,8ms),lacorrientesedefinecompletamentemediante\$I(t)_{ss}\$.

Asíquemispreguntasson:

  1. ¿CuáleslaecuacióngobernanteparaelaumentodecorrienteenelcircuitodelaserieRLC(básicamentenecesitolaecuacióngobernanteparalacurvaverde)?IntentésimularlaecuacióncompletaenMatlab,esdecir,estadoestable+pensamientotransitorio,yaquelasolucióntransitoriadeberíaocuparsedelacurvaverdeinicial,peroaparentementenoesasí.

  2. Silasolucióndeestadoestabledescribelacorrientedespuésde0,8ms,lasolucióntransitoriadeberíapoderdescribirlacurvaverde.Lasolucióntotaldebedescribirefectivamenteelperfilactualquesemuestraenlaimagen.¿Escorrecto?

  3. Pararesolverlaecuaciónhomogénea,lacondicióniniciales\$i(0)=0\$ylacondiciónfinaldebeser\$i(\inf)=V_m*sin(\omega*t)/RPS¿Estoyenlocorrecto?¿Cómoincluirestascondicionesparaencontrarconstantesenunasoluciónhomogénea?

  4. EstetipodecomportamientoactualnoestácubiertoenlamayoríadelaspublicacionesenInternet.¿Porquéno?

  5. Paradefinirlacurvaverde,necesitaréunaecuaciónenlaforma\$i(t)={V_m(t)*sin(\omega*t)}/R\$.¿Estoyenlocorrecto?

Cualquierayudaserámuyapreciada.Séquehaytoneladasdeforos/publicacionesquehablansobreelcircuitodeRLC,peroningunomehadadorespuestasamispreguntas.Todavíasigoconfundido.

editar:Heañadidolaseñaldeentrada

    
pregunta RAN

2 respuestas

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Se puede decir que es más fácil de resolver esto en Laplace y, si el sistema fuera de primer orden, la solución será de la forma: \ $ \ small A (1-e ^ {- at}) sin (\ omega t + \ phi) \ $. Usted tiene un sistema de 2º orden saturado, por lo que la ecuación final tendrá dos exponenciales transitorios.

Una solución de ecuación diferencial obviamente dará la misma respuesta, pero requerirá la integración por partes, probablemente un par de veces. Pero es un buen ejercicio.

El siguiente análisis se agregó a la respuesta original

La ecuación diferencial que relaciona la corriente, \ $ \ small I (t) \ $, y el voltaje aplicado, \ $ \ small v = V_msin (\ omega t) \ $, en una serie RLC, el circuito es:

$$ \ small \ ddot I + \ frac {R} {L} \: \ dot I + \ frac {1} {LC} \: I = \ frac {1} {L} \: \ dot v $$

evaluando \ $ \ small \ dot v \ $, y escribiendo el segundo término de orden en forma estándar:

$$ \ small \ ddot I + 2 \ zeta \ omega \: \ dot I + \ omega ^ 2 \: I = \ frac {V_m} {L} \: \ omega \: cos (\ omega t) \ : \: \: ... \ :( 1) $$

donde, en este caso, el voltaje sinusoidal aplicado es a la frecuencia natural, \ $ \ small \ omega = \ frac {1} {\ sqrt {LC}} \ $

La integral particular (solución de estado estable), dada una entrada sinusoidal, es:

$$ \ small I_ {ss} = A \: sin (\ omega t) + B \: cos (\ omega t) $$

Diferenciando \ $ \ small I_ {ss} \ $ dos veces:

$$ \ small \ dot I_ {ss} = A \: \ omega \: cos (\ omega t) -B \: \ omega \: sin (\ omega t) $$ $$ \ small \ ddot I_ {ss} = -A \: \ omega ^ 2 \: sin (\ omega t) -B \: \ omega ^ 2 \: cos (\ omega t) $$

Sustituyendo por \ $ \ small I \ $, \ $ \ small \ dot I \ $, y \ $ \ small \ ddot I \ $ in \ $ \ small (1) \ $:

$$ \ small -2 \ zeta \ omega ^ 2B \: sin (\ omega t) +2 \ zeta \ omega ^ 2A \: cos (\ omega t) = \ frac {V_m} {L} \: \ omega \: cos (\ omega t) $$

Por lo tanto, comparando coeficientes, $$ \ small B = 0 $$

$$ \ small A = \ frac {V_m} {2 \ zeta \ omega L} = \ frac {V_m} {R} $$

y $$ \ small I_ {ss} = \ frac {V_m} {R} sin (\ omega t) $$

La solución homogénea (solución transitoria) es de la forma:

$$ \ small I_ {h} = e ^ {- \ alpha t} \ left (D \: sin (\ omega t) + E \: cos (\ omega t) \ right) $$

y la expresión general para \ $ \ small I \ $ is, por lo tanto:

$$ \ small I = I_h + I_ {ss} = e ^ {- \ alpha t} \ left (D \: sin (\ omega t) + E \: cos (\ omega t) \ right) + \ frac {V_m} {R} sin (\ omega t) $$

Por inspección, las condiciones iniciales son: \ $ \ small t = 0; \: I = 0; \: \ dot I = 0 \ $

La primera condición da: \ $ \ small E = 0 \ $, y la segunda condición, obtenida al evaluar \ $ \ small \ dot I \ $, da: $$ \ small D = - \ frac {V_m} {R} $$

Por lo tanto, la expresión final para \ $ \ small I \ $ es:

$$ \ small I = \ frac {V_m} {R} \ left (1-e ^ {- \ alpha t} \ right) \: sin (\ omega t) $$

    
respondido por el Chu
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Echa un vistazo a here , puede cambiar los valores y obtener una respuesta para su problema en particular.

Además, debe cambiar su condición final, no puede definir sin (t) en t = inf. En su lugar, tal vez ponga una condición inicial di / dt = 0 en t = 0

    
respondido por el A.Riga

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