Comprensión de Fourier, señales y analizador de espectro

Otros han publicado algunas muy buenas herramientas de explicación visual, pero para mí, parecen ser uno o dos pasos más allá de lo básico. Permítanme ofrecer mi propia explicación súper básica:

Primero, intente multiplicar dos ondas sinusoidales, durante un período de tiempo, digamos dos o tres períodos de su onda sinusoidal más lenta. Tome una hoja de papel y un lápiz si lo desea, pero un par de muestras de tiempo discreto calculadas en Excel también pueden producir un gráfico válido. Comience con ejemplos simples, tales como: dos ondas sinusoidales de amplitud unitaria, la misma frecuencia, la misma fase, centradas alrededor de la amplitud 0 (= sin DC offset). Debe multiplicar el valor escalar instantáneo en cada punto en el tiempo para producir la tercera ola resultante (= producto de multiplicación).

Lamentablemente, no tengo una herramienta de software visual para facilitar este experimento mental súper simple ... Una búsqueda rápida en Google Images ha revelado dos gráficos estáticos aquí .

Otros puntos a considerar:

Si multiplicas dos números negativos (escalares), obtienes un número positivo (escalar). Para que el resultado sea negativo, debe multiplicar un número positivo y otro negativo. Por lo tanto, si multiplica dos ondas sinusoidales idénticas, la onda del producto vive solo en números positivos, más el cero. (Y, el producto pasa a ser una onda sinusoidal pura de doble frecuencia y con cambio de CC, pero eso no parece ser una gran preocupación aquí, no dejes que arruine tu mente).

Para generar algunos valores negativos en su onda de "producto de multiplicación", necesita un cambio de fase u ondas de dos frecuencias diferentes. Observe cómo los cuadrantes individuales se expanden a los valores negativos.

Intente multiplicando dos ondas sinusoidales con frecuencias algo diferentes , digamos una diferencia del 20%, quizás 10 periodos de la señal más lenta. El enlace apunta a un artículo sobre superhets, pero la multiplicación de onda sinusoidal se aplica por igual, y el gráfico de forma de onda es muy bueno (solo podríamos usar un eje cero para la forma de onda "producto" en nuestro tema).

A continuación, adivine qué sucede si integra la ola de productos en el tiempo. Esta es una operación clave: su línea espectral (la "amplitud" de salida para una sola frecuencia) es su onda de producto de multiplicación, integrada en una ventana de tiempo determinada.

Tenga en cuenta que si multiplica su "señal de entrada" por una onda sinusoidal (su "sonda"), la onda del producto (y su integral) reflejará la fase de la sonda en relación con la entrada. Por ejemplo, para dos sinusoides puros idénticos, que están desfasados 90 grados, la onda del producto de multiplicación se centrará alrededor de cero y, por lo tanto, la integral será 0. ¡Como si la onda de entrada "no estuviera allí"!

Para capturar una onda sinusoidal de entrada independientemente de su fase, debe realizar la operación de "multiplicación de forma de onda" dos veces para cada frecuencia de interés (sonda), utilizando ondas sinusoidales y coseno para una "sonda" . Tenga en cuenta que el seno y el coseno son solo ondas idénticas, solo 90 grados de desplazamiento de fase. Por lo tanto, cuando el múltiplo sinusoidal produce una "amplitud integrada" cero, el múltiplo del coseno produce su valor completo deseado. Para fases distintas a 90 grados, simplemente considere los dos valores de salida como un número complejo, que puede usar como tal, o puede calcular su valor absoluto de Pitágoras si no está interesado en la fase.

La transformada de Fourier significa que haces esta "multiplicación de ondas seguida de integración" para un cierto rango de frecuencias. En cuanto al rango de frecuencias considerado, puede ser discreto o continuo, limitado o ilimitado ... En teoría, una señal continua arbitraria durante un período de tiempo limitado produce una imagen espectral continua sobre un rango infinito de frecuencias. En la práctica, FT se calcula sobre un período de tiempo limitado de muestras de dominio de tiempo discreto, para producir un rango limitado de muestras de frecuencia discretas. Solo tiene una resolución finita en tiempo y amplitud, y una cantidad finita de caballos de fuerza para hacer cálculos numéricos.

Una señal de entrada arbitraria (incluida una onda cuadrada) simplemente "suena" diferentes "sondas sinusoidales" con un ángulo de fase e intensidad diferentes. Y, una onda cuadrada suena una serie de ondas sinusoidales armónicas. Un diente de sierra perfecto hace algo similar. Esencialmente, cualquier esquina aguda en la señal produce una serie de armónicos, porque necesita una serie de ondas sinusoidales de diferentes frecuencias para sumar una esquina aguda medio decente en el dominio del tiempo.

Como tarea, pero es posible que ya se haya estado preguntando acerca de esto: piense en el efecto del tamaño de la ventana (temporal, en la señal de entrada) en el resultado, considerando una onda sinusoidal pura para la entrada y una onda sinusoidal pura para la salida. Y, qué sucede si el tamaño de la ventana disminuye gradualmente en relación con el período de su frecuencia de "sonda" y de su forma de onda de entrada.

Los analizadores de espectro generalmente funcionan haciendo un barrido en el rango de frecuencia. En cualquier momento, está mirando solo un rango de frecuencia estrecho. Registra la amplitud de lo que recibió en ese rango, luego pasa al siguiente rango.

En realidad, estos dispositivos suelen ser analógicos, por lo que el barrido es continuo, y también lo es el resultado. A medida que se barre la frecuencia de detección, se mide la amplitud recibida. Esto da como resultado un gráfico de amplitud en función de la frecuencia.

Si pones una onda cuadrada perfecta en un analizador de frecuencia perfecto, mostrará destellos en todos los armónicos impares. Estos bips disminuyen en amplitud a medida que aumenta la frecuencia.

Una transformada de Fourier es una forma de hacer matemáticamente lo que hace un analizador de espectro mediante la medición. La restricción es que la señal de entrada debe ser periódica. El resultado es una ecuación que produce la amplitud en función de la frecuencia. En realidad, hay dos ecuaciones porque una transformada de Fourier también le da la fase en cada frecuencia. Esto puede expresarse como componentes de pecado y cos, amplitud y cambio de fase, o cualquier otra representación que conserve ambos grados de libertad.

Una transformada de Fourier discreta funciona en muestras individuales, como la que obtendrías al medir repetidamente una señal con un A / D. El resultado es la amplitud y la fase en un conjunto de frecuencias discretas. Hay un truco computacional inteligente que ahora se usa rutinariamente para reducir los ciclos de cómputo para realizar una transformada de Fourier discreta. Esto se llama FFT, que significa Transformada Rápida de Fourier. La primera F se refiere al método particular de lograr el resultado y FT se refiere al resultado. Un FT "lento" daría el mismo resultado. El nombre se ha atascado, por lo que se usa "FFT" incluso cuando el método real de calcular el FT es irrelevante para la discusión.

Creo que esta aplicación web interactiva en java responderá muchas de tus preguntas.

Elija el botón Mag / phase view, luego Log para obtener mejores resultados y deslice n (términos) armónicos para ver el cambio de resultado en una onda recursiva en rojo con infinitos términos en blanco.

Incluso puedes escuchar un tono de audio de la onda mientras tus oídos y tu cerebro realizan el análisis de Fourier automáticamente.

Cuando apunta a cualquier armónico, mostrará la amplitud real en el patrón de repetición. Elija cualquier forma de onda y límite n estándar, o dibuje su propia onda arbitraria y compare.

Recuerda estas leyes del espectro de Fourier;

• los impulsos y los pasos contienen espectro continuo, pero este analizador repite el patrón de la onda, por lo que los armónicos discretos dependen de la forma.
• las ondas cuadradas no tienen armónicos pares, pero si son ligeramente asimétricas, aumentan rápidamente a amplitudes iguales para un pico repetitivo estrecho.
• el cambio de fase de los armónicos refleja el efecto de filtro de la integración de un cuadrado en una onda triangular, por lo que la amplitud y la fase de fourier lo muestran cuando se visualiza Mag / Phase con Log. (aritmo)
• el primer pico muestra el nivel promedio de CD, luego su f fundamental

Creo que este video lo ayudará a comprender cómo se suman las ondas y cómo podemos analizarlas en sus componentes de frecuencia. Ciertamente me ha ayudado porque soy de tipo visual y las visualizaciones en este video lo hacen muy intuitivo.

Este es un tema que me ha estado molestando durante años y hay muchos niveles de comprensión de Fourier. En un nivel básico, es una forma de transformar una señal (verla en un dominio diferente) del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia y viceversa (utilizando la transformada de Fourier inversa). Esto revela el "hecho" de que cualquier forma de onda compleja se compone de una serie de ondas sinusoidales (frecuencias únicas).

Pongo la palabra hecho entre comillas porque, como puede ver en las respuestas a pregunta que hice en la física SE , es discutible señalar que se vuelve filosófico si las ondas sinusoidales son reales o simplemente una construcción matemática Eso nos ayuda a analizar los procesos naturales. Todo se reduce a lo que es la realidad.

Creo que la forma más sencilla de describir la transformada de Fourier con palabras simples es utilizar parte de la respuesta de Yakk a mi pregunta.

  

Puedes retroceder y mirar la transformada de Fourier. Empiezas con alguna ola. Se multiplica por la señal original (mediante convolución) y, a partir del resultado, se determina cuánto se superponen y cuál es la mejor escala de la onda para aproximar la señal original.

     

Luego restas esa onda escalada de la señal original. Esto "elimina el componente de frecuencia" de la señal original (en el sentido de que si la convivieras con la onda nuevamente, obtendrías cero).

     

Luego repetimos esto con diferentes frecuencias, cada vez que "eliminamos un componente de frecuencia". Mientras los componentes de frecuencia que eliminamos sean ortogonales entre sí (una generalización de estar "en ángulos rectos"), la eliminación de nuevos componentes de frecuencia no "devuelve" los anteriores.

     

A medida que sucede, "eliminar el componente de frecuencia" corresponde a una operación.

     

Si establece una cavidad de resonancia de longitud L por la cual las ondas de presión viajan a la velocidad S, y tiene un conjunto repetitivo de ondas de presión, la cavidad amplificará la parte de la onda de presión de frecuencia L / S que corresponde aproximadamente a a la convolución de la onda del pecado con la amplitud de la onda de presión en el tiempo.

     

Eso parece bastante académico, pero ¿alguna vez te has mirado los oídos?

     

Son cavidades de resonancia. Las ondas de presión entran y rebotan de un lado a otro.

     

A lo largo del lado, hay pelos que captan los cambios de presión. Las ondas de varias frecuencias son amplificadas y amortiguadas por la cámara de resonancia y excitan e ignoran un conjunto predecible de pelos.

     

En resumen, nuestros oídos dividen las ondas de presión en algo muy parecido a lo que hace el análisis de Fourier. Tenemos transformadores físicos de Fourier en nuestra cabeza unidos a nuestro cerebro.

     

Entonces, cuando hacemos un análisis de Fourier y decimos que hay una señal fuerte a 550 Hz, esto corresponde a lo que escuchan nuestros oídos porque nuestros oídos están haciendo algo que las matemáticas aproximan y mapean las ondas de presión en un espectro de frecuencias para nosotros para escuchar.

Un analizador de espectro realiza una transformada rápida de Fourier (FFT) que es un algoritmo optimizado (más rápido). Tiene una cierta resolución en el dominio de frecuencia, por lo que no comprueba la frecuencia cada . Tampoco puede detectar la fase. Hay algoritmos especiales para lo que (creo) se usan en astronomía y detección de submarinos.

Entiendo que la serie y transformación de Fourier es algo difícil de entender cuando empiezas con ella, pero una vez que la comprendas sabrás que es lo más hermoso que han dado las matemáticas.

Cada vez que no puedo entender algún concepto o el propósito del mismo, trato de entender la historia o el motivo detrás del mismo y eso explica la mayoría de las cosas.

Ahora, el problema en la física es que hay muchas ecuaciones que describen una forma o alguna forma que puede tener un significado variable según el sistema que intentemos estudiar. Ahora surge el problema de que para cada sistema tenemos un conjunto diferente de comportamientos y ecuaciones y cada vez que parece un problema nuevo que necesita nuevos métodos, enfoques y análisis. Ahora no nos gusta que sea sencillo y que solo tengamos una herramienta que pueda resolver todos sus problemas (o al menos la mayoría)

Ahí es donde Fourier viene a rescatar. Ahora, el principio básico aquí es que solo necesito conocer las propiedades del seno y el coseno y trataré de descomponer cualquier (o la mayoría) de la señal en una combinación de onda sinusoidal y coseno. Ahora, la ola puede no ser exactamente igual a la ola original, pero aún así, es muy cercana y hace el trabajo.

Laimagendearribanoesunaondacuadradaperfecta,peroestámuycercadeella.

Ahora,lasoscilacionesquesevenalfinaltambiénsedenominan" fenómeno de Gibbs ".

  

si todas las señales serán obligatorias de sinusoidal de diferentes frecuencias

No, no es obligatorio que se haga ninguna señal sinusoidal, pero como expliqué antes, es una herramienta matemática o un enfoque para resolver señales complejas.

La Transformada de Fourier solo puede mapear la energía de entrada en sinusoides, porque la única función básica permitida en la Transformada de Fourier es una onda de pecado / coseno. La operación matemática realizada en la Transformada de Fourier es "correlación", y las respuestas máximas son donde las funciones de base permitidas están correlacionadas al máximo. a la forma de onda de entrada.

Ahora ---- ¿puede un reloj de 100MHz hacer que suene un resonador LC de 100MHz? si

¿Puede un reloj de 100MHz hacer que suene un resonador LC de 200MHz? depende del ciclo de trabajo

¿Puede un reloj de 100MHz hacer que suene un resonador LC de 300MHz? si

¿Puede un reloj de 100MHz hacer que suene un resonador LC de 313MHz? sí; depende de "Q"

Resumen de esto --- los armónicos no existen.

Lo que consideramos como una indicación de un armónico es simplemente un pico local en la correlación. Un reloj de 100MHz hará que suene un resonador LC de 300MHz, y también hará que suene un resonador de 313MHz. Dependiendo de "Q", donde "Q" simplemente indica el tiempo de duración de las señales enviadas al correlador (y el filtro de paso bajo impuesto en la salida del correlador).

Aquí hay un ciclo de trabajo de onda rectangular de 20MHz, 45%, que maneja un resonador LC de 50MHz con una Q de 100. ¿Qué está haciendo?

Yaquíestánlasformasdeondadeentrada/salidajuntoconlosespectrosdeentrada/sistema/salida(solomagnitud;deshabilitélosgráficosdefase)