Tengo este circuito (donde u (t) debe calcularse en t = 3ms):
Donde:e(t)=260*cos(wt+25),w=2400s^-1,Ro=15ohm,R1=40ohm,L=12mH,C=20uF,t1=3ms.
Tengoungranproblemaparaformarecuaciones(Laplace).Todoloqueséesquedeberíaconsiderarestecircuitoent<=0yt>0,asíque:t>0es:
Yt<=0es:
¿Qué debo hacer a continuación?
Intentaré resolver la solución general aquí (en parte porque me falta la resistencia para R2). Puede conectar sus valores donde sea necesario.
Antes de t = 0
Primero necesitamos encontrar la condición inicial en t = 0 para poder calcular la solución en el dominio de Laplace después de t = 0.
Si asumimos que el circuito está en estado estable antes de que se abra el interruptor, entonces el método más fácil para encontrar la solución en estado estable sería trabajar con fasores (transformada de Fourier). Obtendríamos el siguiente esquema:
Donde
\ $ Rss = R_o + R_1 // R_2 \ $
Podemos calcular el voltaje y la corriente de salida a través de L utilizando estas impedancias:
\ $ \ frac {Vout (j \ omega)} {E (j \ omega)} = \ frac {j \ omega L} {R_ {ss} (1-LC \ omega ^ 2) + j \ omega L} \ $
\ $ \ frac {i_L (j \ omega)} {E (j \ omega)} = \ frac {1} {R_ {ss} (1-LC \ omega ^ 2) + j \ omega L} \ $
El fasor en la entrada se da usando \ $ e (t) = A_o \ cos (\ omega_o t + \ phi) \ $. En el momento igual a cero, este fasor estará en (recuerde, la parte real debe ser la misma):
\ $ E = A_o \ (\ cos (\ phi) + j \ cdot sin (\ phi)) \ $
Toda esta información ahora se puede usar para encontrar la solución de estado estable mediante la sustitución de todos los conocidos.
\ $ Vout = E \ cdot \ frac {j \ omega_o L} {R_ {ss} (1-LC \ omega_o ^ 2) + j \ omega_o L} \ $
\ $ i_L = E \ cdot \ frac {1} {R_ {ss} (1-LC \ omega_o ^ 2) + j \ omega_o L} \ $
Entonces basta con tomar las partes reales de \ $ Vout \ $ y \ $ i_L \ $ para encontrar el voltaje y la corriente a través del inductor en t = 0:
\ $ v_C (t = 0) = \ Re (Vout) \ $
\ $ i_L (t = 0) = \ Re (i_L) \ $
Después de t = 0
Ahora que tenemos las condiciones iniciales, podemos comenzar a calcular la solución utilizando la transformada de Laplace.
Puede probar que un inductor con una corriente inicial es equivalente a un inductor sin corriente inicial en paralelo con una fuente de corriente constante de esa corriente inicial. Lo mismo se puede hacer para un condensador, donde se agrega una fuente de voltaje en serie. Podemos obtener el siguiente circuito equivalente:
Podemos resolver este circuito escribiendo las ecuaciones KCL (corrientes en = corrientes fuera):
\ $ \ frac {E (s) -v_1} {R_o} = \ frac {v_1-v_2} {R_1} + \ frac {v_1-v_3} {R_2} \ $
\ $ \ frac {v_1-v_2} {R_1} = \ frac {i_C (t = 0)} {s} + \ frac {v_2} {Ls} \ $
\ $ \ frac {v_1-v_3} {R_2} = \ left (v_3- \ frac {v_C (t = 0)} {s} \ right) \ cdot Cs \ $
Esto nos da tres ecuaciones para tres incógnitas, que se pueden resolver. Tengo que decir que estas ecuaciones son bastante tediosas sin embargo. No recomiendo resolver estas ecuaciones simbólicamente.
Como alternativa, puede obtener las mismas ecuaciones sin cambiar el circuito permaneciendo en el dominio del tiempo antes de transformarse al dominio de Laplace. Nosotros obtendríamos eso:
\ $ \ frac {e (t) -v_1} {R_o} = \ frac {v_1-v_2} {R_1} + \ frac {v_1-v_3} {R_2} \ $
\ $ \ frac {v_1-v_2} {R_1} = i_L (t) \ $
\ $ v_2 = L \ cdot \ frac {di_L (t)} {dt} \ $
\ $ \ frac {v_1-v_3} {R_2} = C \ cdot \ frac {dv_3} {dt} \ $
Después de la transformación de Laplace:
\ $ \ frac {E (s) -v_1} {R_o} = \ frac {v_1-v_2} {R_1} + \ frac {v_1-v_3} {R_2} \ $
\ $ \ frac {v_1-v_2} {R_1} = I_L \ $
\ $ v_2 = L \ cdot (I_Ls-i_L (t = 0) \ Rightarrow I_L = \ frac {v2} {Ls} + \ frac {i_L (t = 0)} {s} \ $
\ $ \ frac {v_1-v_3} {R_2} = C \ cdot (v_3s-v_C (t = 0)) \ $
Encontrarás que estas ecuaciones son exactamente iguales.
¡Espero que te haya ayudado!
Lea otras preguntas en las etiquetas transient